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JMO予選へのアドバイス
更新日：2021-01-02

この記事では、JMO予選について、執筆陣の経験談やアドバイスなどをまとめています。お役に立てると幸いです。

兒玉

持ち物はちゃんと前日までに準備しておき、忘れないようにしましょう。 これは数学オリンピックに限らず重要なイベントではするべきことです。

次に予選の話です。まず、寒いと手が動かなくなります。開始前は手の運動などをして、開始時に手を動かせるようにしましょう。

次に問題を解くパートです。JMO予選の問題は概ね難易度順に並んでいますが、最後の方の問題でも、天から発想が降りてきたり、手を動かしたらなんやかんやで解けたりすることが良くあります。そのため最後の方の問題や苦手分野の問題を全く見ずに捨てるというのはやめたほうが良いでしょう。

私の場合、最初はすべての問題にちょっとずつ手を付けてみて(1~3分くらい?)、手を付けやすい問題を見極め、それから解いていきました。ただ、簡単そうな問題でも手が止まってしまったら別の問題に移るべきです。ある問題にこだわって全体として全然解けなかったという最悪の事態を避ける行動をすべきです。

見直しはこまめにすると良いでしょう。問題を読み間違えていないか、解答するものを間違えていないか、根本的な考え方のミスをしていないか、定期的にチェックすると良いでしょう。

試験後は毎年SNSが盛り上がります。SNSを見ても結果が変わることはありません。気にしないようにしましょう。

宿田

死を迎えることになる主なパターン

アドバイス

(参考) 宿田の実際の時間の使い方

平石

JMO予選は、3時間という短時間で12問もの問題を相手にしなければならないため、超スピード勝負になってきます。その一方で短答式12問が1問1点で採点されるということは、1点差で落ちる人が大量に現れるわけで、1点分のミスが大きな命取りになることも事実です。そのような特性も踏まえて、JMO予選の戦略について書いていきます。

まず、3時間で12問と冒頭で書きましたが、おそらく12問全部をしっかり考える時間は無いと思います。そのため、どの問題をしっかり考えるか、という取捨選択が必要になります。難易度の見極めや取捨選択に関しては経験によるものが大きいので、時間を計って過去問を解くことが一番の対策になるのですが、一般的に言えそうなことを書いてみます。

まず、これは本選にも通じることですが、「もう解けそうなんだけどな～」と言いながら手元で同じことを何度も繰り返している状況は、結構危険です。本当に解けそうなのに最後の一手に気づいてないこともあれば、実は全然解けてないこともありますが、いずれにせよそのまま考え続けても解けないことが多いです。前者の場合、一度他の問題を考えてから戻ってくると、すぐ思いつくということもあります。予選は問題がたくさんあるので、少なくとも制限時間前半で解くべき問題が尽きるということは無いと言っていいでしょう。1つの問題を長時間考え続けるのは私はあまりお勧めしません。ここで、「得意分野に対するプライド・こだわり」みたいなものが、どうしてもその問題を解きたい、という気持ちを生み出すことがありますが、それで1つの問題にこだわり続けてかえって損をする、ということは結構起こりますので気を付けてください。

次に、「全通り書き出せば解ける」「ごり押しで計算すれば解ける」の判断についてです。答えさえあってればいいので、いわゆる「ごり押し」が通用する問題も多いです。しかし、そのような手段は1点と引き換えに大量の時間を使うので、戦略的に妥当な判断かちゃんと考えて行う必要があります。判断の基準としては、①どのくらい時間がかかりそうか、②確実に正解できる見込みはあるか(どのくらい途中でミスりやすいか)、などが挙げられるでしょう。当然のことですが戦略の判断基準は得点の最大化なので、他の問題も考慮に入れつつその1点が大事だと思うならごり押してみるのもアリでしょう。一応補足しておくと、僕自身も約360通りを全部書き出して成功した経験を持っているので、腕力で押し通す解法を否定はしていません。むしろ予選においてかなり有効な手段だと思っています。ただ、使う場面は選ぼう、という話です。

さて、続いてミスをしないことについて話します。冒頭で述べた通り、予選では小さなミスが非常に大きな命取りになります。部分点が無いので、全く手がつかなかった人も、良いところまで行ってるのに最後でミスってずれた人も、等しく0点です。ミスを減らすには、ひたすら本番形式で演習するのが一番ですが、ここではすぐ使えるミスを減らすテクニックについて書こうと思います。

まず、解答欄の活用について。皆さんは「 $2x$ が答えになるなと思って $x$ を設定して、色々計算して $x$ を求めて、解答欄に $x$ を書いてしまった」という経験はありませんか？こういったミスは、$x$ を設定した段階で解答欄に「 $2x$ 」と書き込んでおくことで減らすことができます。この他にも、問題を解きながら「あ、これ最後ミスりそうだな」と思ったら該当問題の解答欄にそれを書いておくんです。そうすれば忘れていても解答を書くときに気づけるので。

次に、これはある程度余裕がある人用になってしまいますが、6,7問ぐらい解けて1時間ぐらい余ってたら一旦全問を見直してから次の問題に行く、というのがあります。ただ、何問解けたらそれをやるかというのはボーダーが年によって違う以上感覚に頼らざるを得ないので、少し難しいものがあります。また、この他にも見直しの方法として1問1問解き終えたらその都度見直すというのも考えられますが、解いた直後というのは自分の道筋をすぐ追えるのでかえってミスが見つかりにくい、という印象が僕にはあります。どんな方法を選ぶかは好み次第ですが、努力が無駄になる確率を下げるという意味で見直しに時間を割く価値はかなりあります。ぎりぎり通過できるか怪しいぐらいの人も(そういう人は特に？)、最初の3,4問を解き終わったら一旦それを見直す、くらいはしても良いかもしれません。

最後に、僕が予選で気を付けるべきと思ったことをいくつか書いておきます。

  1. 予想が立ったもののそれが証明できそうにないとき、とりあえずそれが成り立つものとして解答を書いておけ。
  2. 3番ぐらいに出てくる書き出し想定の場合の数は特に慎重になれ。
  3. 最後3問は捨てるとか言わずとりあえず全問目を通せ。11番ぐらいにひょっこり簡単な問題が出てくることもたまにある。

また、予選でやりがちなことをいくつか書いておきます。

  1. 幾何、長さを文字でおくという手段を忘れがち。
  2. 特殊ケースを考え忘れがち。
  3. 自明なケースを忘れがち。
  4. 答えるものを間違えがち。
  5. 1問目で勢いつけようと思ってミスりがち。
  6. 4番が意外に難しくて焦りがち。
  7. 焦るとミスしがち。

ここまで色々書いてきましたが、予選は思ったよりその時のコンディションと戦い方に左右されます。練習を重ね、何があっても通過できるぐらいの実力をつけることが一番です。予選に関してはこのサイトが参考になるか分かりませんが、頑張ってください！

平山

皆さんがこれを見てどう感じるかはわかりませんが、まずは私のツッコミどころの多すぎる数オリ予選の戦績を提示するところから始めましょう。

少なくとも、私は予選について偉そうに語るに値するほどには、安定した成績を全く残せていません。ここではむしろ失敗者として「いかに通るか」ではなく「いかに落ちないか」の目線から話すことになりそうです。優等生なアドバイスは既に他の人が書いているのを見ましたから、同じことを二度書いても仕方ありません。

まず大前提として、予選形式はそれ以上の何物でもありません。全く別物とまでは言わないにせよ、本選以降で求められる、いわゆる「数オリ」と一般に呼ばれる能力とは、予選のそれはかなり異なるものです。しかも、予選は対策をするのがあまりに難しい。正直ながら過去問を潰すくらいしかやることがありません。ある程度の年数を経ると、もうそれまでに積んできたノウハウを駆使してなんとか通ってしまうしかないのです。逆にとにかく通ってしまえば勝ちですが。

したがって、私は以前から徹底してこう言い続けているのです：「予選を通る最大のコツは、前の年に入賞することだ」と。冗談めかしていますが、私の高1での結果を見ればこれが本気のアドバイスであることは実感できるでしょう。この年の本選で私は、メダルこそ逃しはしたものの、比較的余裕のある成績で再び入賞しました。所詮はそんなものです。

しかし、ほとんどの人はこんなナンセンスなアドバイスは求めていないでしょう。そもそもどこかで1回は通っておかないと数オリ人生のスタートにすら立てないのですから。

ここで中2での成績が大きな意味を持ちます。中1で惨澹たる成績を取ったことで完全にJJMOに嫌気の刺した私は、JMOへ早々に舞台を移しました。そこで結果だけ見れば奇跡の大逆転を起こしたように見えますが、実はこの最高点は完全なるまやかしです。ある1問では数列を144項書き出し、またある1問では小さい場合での実験に基づくエスパーを行っています(もちろんこの2問が無くても通過はしていますが)。予選の恐ろしいところは、どれだけ酷い、ほとんどチートに等しい過程を踏んでいても、紙上に刻まれた答え自体によってのみ価値が判定されることです。

予選の問題のほとんどは、シンプルで華麗な想定解が潜んでいることが多いです。実際に自力でこれらに到達できた時の歓びは確かに計り知れません。しかし、本番でそんなことにこだわってウンウン唸るのは愚の骨頂というものです。乱暴に言ってしまえば、あなたが予選の間にどのように正答に到達したかなど、誰も知ったこっちゃないのです。したがって、気を取り直して最大のアドバイスをするならば、「手段を選ぶな」とでもなるでしょうか。もちろん、ただ腕力だけを持っていても話になりません。仮に運良く通ったとしても、そこからどうにもならないでしょう。あくまですべてを程よく持ち合わせた状態での話です。

もう一点加えるならば、陳腐ですが「1点や2点落としても通れそうな問題数を解け」でしょう。私も中3・高2の予選では、それぞれ9問・11問に対して正答を出したつもりでしたが、どちらも凡ミスで1点を失っています。失ったとは書きましたが、凡ミスだろうと単純に解けていなかろうと傍から見れば同じです。人間ですから誰でもミスはします。ある程度の余裕が出てきたら見直しを重ねるのは当然ですが、例えば8問解けたからといってそこで安心してしまってはいけません。「いかに落ちないか」とは書いたものの、ボーダーを目標にするのは最悪です。かつては7点取れば安牌だと言われていましたが、2020年は圧倒的な易化でついにボーダーが8点となり世間を震撼させました。何があるかはわかりません。試験中は絶対に最高点、いや満点をも目標にせねばなりません。実際に2020年は満点が余裕で狙えて、数人くらい存在していてもおかしくはないセットでした。

最後に、中1の予選の思い出について書いて締め括りとしましょう。憧れの灘中への入学を果たし、数研で優秀な仲間に囲まれながらも早くも頭角を現しつつあった私は、前年そこそこ健闘したことも相まって、今年はあわよくば入賞をと思っていました。しかし、結果は見ての通り。中1ながら通過を果たした同級生を多数目の当たりにする中で、自分の才能に完全に自信を持てなくなりました。いわば人生初の挫折です。

とはいえ、あれから5年を経た今、最終的な結果を見てみるとどうでしょう。数多の優秀な同級生の中で、JMOで複数回入賞したのも、APMOでメダルを取ったのも、そしてIMOでメダルを取ったのも、気が付けば私だけになっていました。ほんの一握りの真のレジェンドを例外に据えるとしても、普通は誰しも1回くらいは失敗します。どれだけ十分に努力してきたと思っても、報われないことだってあるでしょう。それが一発勝負の恐ろしさです。実はあの年に屈辱のCランクを取った日本代表は私以外にもいます。失敗は、己の才能への疑いへと直結します。しかし、そもそも数オリは何も才能だけの世界ではありません。確かにどう足掻いても敵わない次元の才能は存在しますが、少なくとも日本代表になるくらいなら努力で到達できます。大事なのは失敗から何を得て、そこからどう成長するかですよ。

まあ、初めから失敗を見据えて行動するものどうかとは思うので、まずはあらん限りの成功体験を想像し、そして何より、勝負を楽しんでください。もし数オリがあなたにとって楽しいものでなくなったら、一旦数オリとの付き合い方を見直してみる良いタイミングかもしれません。

馬杉

JMO予選が近づいてきました。

「去年のボーダーは 8 点だったから、去年よりは易化して、そうすると 6 点くらいかな、いやもしかしたら 7 点かも、いやいやはたまた……」

みたいな意味のないことは考えないようにしましょう。攻めの姿勢と心意気を持ってください。9 - 12 問目に目を通さないで 1 - 8 問目までを「守りにいく」というような考えは、僕は論外だと思ってます。

ただし計算ミスは徹底してなくしましょう。予選を通るうえでの最も重要な数学的素養は何かというと四則演算が正しくできることです。$8 + 6 = 12$, $13 \times 6 = 72$, $3^7 = 2197$, $15 \times 36 + 5 \times 4 \times 3^2 = 810$, $203 - 19 = 194$, さていくつ間違いがあるでしょう。ひとつのミスで 1 点減点されると思ってください。

さて計算ミスを防ぐにはどうすればいいか。残念ながら電卓は使えないですから、次のような具体的方策があります。

  1. 複数の方法で計算・検証する(例えば $15 \times 36$ であれば、そのまま計算するだけでなく $30 \times 18$, $15 \times (40 - 4)$, そのほかにも様々な計算方法があります: また検証法としては、$\bmod 3$ や $\bmod 7$ といったレベルで確かめるなどの方法があります)
  2. 諦める

ただし時間は食います。なのでさっさと解きましょう。そして間違えないこと。

満点取れば多分通ります。それを目指してください。

渡辺

戦略は大きく二つに分かれます。

  1. 本選に通る
  2. 予選に通る

本選に通ると、来年の予選まで通過できてしまうのでなるべくこれを狙いましょう。本選についての戦略は追って記事が出ると思います。

本選に通ったことがないよという人は予選で合格点をとって通過するしかありません。予選はご存じの通り12問の答えだけを答える形式なので、なるべくミスをしないことが大事です。 気を付けるべきポイントをあげます。

問題文を正確に読めているか。

予選ではないものの、私もIMO2019の問4で $1,2,4,\dots$ を $1,2,3,\dots$ と誤読しているので本当に気を付けてほしいです。 予選で整数と自然数を間違えた例も知っています。相異なるみたいな条件も無視してしまうかもしれません。 問題文を指差し確認しながら読むぐらいの意識でいいと思います。

数え間違いはないか

個人の感想として、場合の数を求める問題はミスしやすいので苦手です。計算に含まれない場合がないか、 余計な場合を数えていないか、ダブルカウントはしていないか（それを用いて計算している場合は別です) などを気を付けるべきだと思います。掛け算だけで片が付きそうでも油断してはいけません。 また $i=1,2,3,\dots,n$ として合算する場合は $i=1,2,n$ あたりが特殊な挙動をしているかもしれません。 疑いの目をもってきちんと手を動かして実験しておきましょう。 皆さんが場合の数の問題で答えを寸分違わず合わせることを願っています。

あとは実力を発揮して悔いのないような試験にしてください。応援しています。

吉田

万人向けのアドバイス

何よりも、楽しんで受けましょう。予選であれ本選であれ、数オリは年に一度のお祭りみたいなものです。本気で結果を狙って受ける人もいれば for fun で受ける人もいます。12点を取るすごい人もいれば0点で終わってしまうこともあります。良い成績が残せれば喜べばいいですし、失敗しても気を落としすぎる必要はないと思います。自分の人生が楽しくなる方向で数オリを活用できれば、それでもう万々歳ですよ。

特に数オリにまだあまり慣れていない人へのアドバイス

初めて数オリを受けるときは、大抵の場合全然解けないです。ですが、実は数オリは天才以外お断り数学コンテストというわけではなくて、解けば解くだけ解けるようになるという単純なシステムなだけなんですね。予選で何点取ったとか本選で何メダル取ったとかは、もちろんそれはそれですごいですけど、それ以上の意味をもたないと思います。だからこれから数学オリンピックを受ける方々には、数学オリンピックの問題にコテンパンにされた笑い話じゃなくてむしろ、難しい問題を解けた時の心からの達成感、解けなかった問題の綺麗な解答を見た時の純粋な感動、そういう気持ちを大事にしてほしいです。その純一無雑な感情が、そしてその感情を共有できる仲間との出会いこそが、本当に価値あるものです。

特に本選出場を確実にものにしたい人へのアドバイス

上でも書きましたがもう一度強調させてください。見直しは何回しても足りません。マジで。ある程度予選を対策すれば、ボーダーの点数に到達するまで3時間もかからないことがわかると思います。仮に1.5時間で到達したとして、残りの1.5時間は何をすべきかといえば、当然ながら見直しです。新しい問題を解くたびに今までといた問題すべてを見直す、というくらいの意気で挑むべきだと思います。

特に予選で最高点を取りたい人へのアドバイス

そんなものはないです。

予選特有のことから数オリ一般のことまで、いらんことをいっぱい書いたと思いますが、予選に向けて気持ちを高める一助になれば幸いです。皆さんの健闘を祈ります！