渡辺：$f\equiv 0$？
宿田：たぶん？
平山：素数とか言ってんのにそれ以外あったらビビるよね
渡辺：$(2,q)$ を考えている
平山：偶数がだいたい合成数ってのは大事っぽくて
渡辺：定数項が奇数だと、十分大きい奇数の合成数 $q$ に対し $f(q)+2$ が素数
平山：既にヤバそう
渡辺：定数項が偶数なら偶数にすればよくて
平山：適当な素因数とか見る？
渡辺：$f(q)+2=r$ として $q+2nr$ とか入れると定数じゃないとヤバいです
平石：ぱちぱちぱち

• 工事中

$f(2)+q$ が $4$ 以上の偶数となるような正の合成数 $q$ が存在する. これは $f(2)$ が偶数ならば, $q$ を $|f(2)|+4$ 以上の偶数の合成数とし, $f(2)$ が奇数ならば $q$ を $|f(2)|+4$ 以上の奇数の合成数とすればよい. このとき $(2,q)$ がcuteであることから, $(f(2)+q,f(q)+2)$ はcuteであり, $f(2)+q$ は合成数であることとあわせて $f(q)+2$ は素数である. $r=f(q)+2$ とおき, $n$を任意の正の整数とする.

このとき, $q+2qrn$ は $q$ の倍数であり, 特に合成数だから, $(2,q+2qrn)$ はcuteであり, $(f(2)+q+2qrn,f(q+2qrn)+2)$ もcuteである. $f(2)+q+2qrn$ は $4$ 以上の偶数だから, 特に合成数であり, $f(q+2qrn)+2$ は素数である. ここで, $f(q+2qrn)+2\equiv f(q)+2\equiv 0(\mathrm{mod}r)$ より $f(q+2qrn)+2=r$ であり, $n$ は任意の正の整数をとることから $f(x)\equiv r-2$ である.

$c=r-2$ とおくと, $c\ge 0$ である. $c>0$ を仮定して矛盾を導く. $c$ が奇数のとき, $(3,9)$ はcuteだが, $(3+c,9+c)$ はcuteでない. $c$ 偶数のとき, $(2,4)$ はcuteだが, $(2+c,4+c)$ はcuteでない. 以上より $f\equiv 0$ が必要であり, これが条件をみたすことは容易にわかる.