平山：$x=1$ で $f(1+f(y))=yf(1)+f(f(1))$
宿田：$f(1)=0$ または単射
渡辺：$y=0$ で単射なら終わる
平山：$f(1)=0$ 仮定します、$y=1$ で $f(x)=f(f(x))$
平山：$f(0)=0$ だから $x=1$ が $f(1+f(y))=0$ になる
宿田：零点 $a$ について $f(ax)=af(x)$
平山：有理数はすべて零点か？
宿田：なんでや
平山：めっちゃ嘘ついてた…
平山：$(qx,qy)$ と比較して $f(xy)=yf(x)$ とか考えてた…
宿田：零点が $0$ と $1$ 以外にあればそうで
平山：これは $x,y$ 入れ替えて $f(x)/x$ が一定の良くあるやつ
宿田：$0$ と $1$ だけなら $f(1+f(y))=0$ で死ぬ
平山：そもそも上のやつ $x=1$ で良かったわ()

• 工事中

求める関数は $f(x)\equiv x$ および $f(x)\equiv 0$ であることを示す. これらは明らかに与式をみたす.

いま $f(1)\ne 0$ であると仮定する. このとき $f(s)=f(t)$ なる実数 $s,t$ に対し, $P(1,s)$ および $P(1,t)$ を比較することで $s=t$ を得る. すなわち $f$ は単射であるから, $P(x,0)$ より $f(x)=x+f(0)$ を得る. 特にこれを与式に代入することで明らかに $f(0)=0$ が必要である.

以下 $f(1)=0$ とする. このとき $P(x,1)$ より $f(f(x))=f(x)\cdots \cdots (★)$ で, 特に $x=1$ より $f(0)=0$ である.

$f$ の零点が $0$ と $1$ のみであったと仮定すると, $P(1,x)$ より $x\ne 0,1$ に対し $f(x)=-1$ が必要であるが, このとき $P(-1,2)$ より矛盾する. したがって $0$ および $1$ 以外の零点 $a$ がとれ, このとき $P(x,a)$ より $f(ax)=af(x)$ である. よって $P(a,ax)$ より $f(x)\equiv 0$ が必要である. ただし途中で $(★)$ を繰り返し用いた.