渡辺：$AEFQ$ と $ABCP$ の四点相似が見えます
兒玉：$ABKC$ が平行四辺形となるように$K$をとる？
宿田：$AP$ と $EF$ 平行 (あたりまえ)
渡辺：$AEP$ と $AFQ$ 相似？
兒玉：本当？
宿田：嘘な気がするのです
渡辺：図がやばかった
宿田：四点相似をある程度揃えるため円 $AEFH$ を描きました
兒玉：$HBLC$ が平行四辺形となるよう $L$ をとると五点相似が
宿田：$AM$ と $PQ$ が垂直とは
兒玉：逆からあまり辿れてない
平石：角度によるアプローチが辛そうな気がしていて
平石：$A{P}^2+Q{M}^2=A{Q}^2+P{M}^2$ を示すとか
兒玉：$O$ を外心として $PAQ$ と $AOM$ の相似を示す？
平石：良さそう
兒玉：辺比でいけるじゃん
平石：あーできるわ
兒玉：$AO:OM=AL:AH=AP:AQ$
渡辺：はい

• 工事中

$H$ を三角形 $ABC$ の垂心とし, 四角形 $HBLC$ が平行四辺形となるような $L$ をとる. このとき $HML$ は共線であり, また $\mathrm{\angle }BLC=\mathrm{\angle }CHB={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }BAC$ より $ABLC$ の共円がわかる. よって $$\mathrm{\angle }ACL=\mathrm{\angle }ACB+\mathrm{\angle }MCL=\mathrm{\angle }ACB+\mathrm{\angle }MBH={90}^{\circ }$$ であるから, $AL$ は円 $ABC$ の直径である.

$AEFH$ および $ABLC$ の共円や, 接弦定理から従う $\mathrm{\angle }PAB=\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }QAC$ などを合わせて, 簡単な角度計算により $AQEFH$ と $APBCL$ の相似がわかる. よって, 中点連結定理から $AH=2OM$ に注意すれば, $$AP:AQ=AL:AH=2AO:2OM=AO:OM$$ がわかる. また, $\mathrm{\angle }PAO=\mathrm{\angle }PMO={90}^{\circ }$ より $\measuredangle PAQ=\measuredangle APB=\measuredangle AOM$ である. これらを合わせて二辺比夾角相等より $AOM$ と $PAQ$ は向きを込めて相似である. $AO\perp AP$ より回転角は ${90}^{\circ }$ なので, $PQ,AM$ は垂直に交わる.