問題7：BMO 2019

幾何

★★★☆☆

BMO 2019 問3

鋭角三角形 $A B C$ があり, 辺 $B C$ 上 (端点を除く) に相異なる点 $X, Y$ があり, $∠ C A X = ∠ Y A B$ をみたしている. $B$ から $A X, A Y$ におろした垂線の足をそれぞれ $K, S$ とし, $C$ から $A X, A Y$ におろした垂線の足をそれぞれ $T, L$ とする. このとき, $K L, S T, B C$ は $1$ 点で交わることを示せ.

解いてみた

渡辺：同じ角度の作図は外接円使うと早いという話
平山： $A B K S$ と $A C T L$ が共円
宿田：そこからangle-chaseして $K L S T$ も共円
馬杉：相似があるね
宿田：今ある三円の根心を一応取りました
平山：それって $K S$ と $L T$ の交点だよね
平山：それが $A$ から $B C$ に降ろした垂線上にある
兒玉：Brocardみがめっちゃある
平山：円 $K L S T$ の外心について見ると
兒玉：その外心が $B C$ 上にあればBrocardで終わりですね
兒玉：あれ、外心って $B C$ の中点では
馬杉：あーほんとだ
平石：そうか、 $K T$ と $L S$ の垂直二等分線が $B C$ の中点を通るのか
馬杉：よくよく考えたらこの問題すごい平行線があるので
平山：ああ、中点連結定理の応用版みたいな感じか

解説・感想

三つ円が出てきたらとりあえず根心をとってみるのは良さそう (5行目)
中点連結定理の応用版
Brocardの定理についてはこちらを参照。日本での知名度はかなり低めであるが (そもそも射影の技法自体がまだ浸透不十分である) 海外では一般的であり、登場度も低くはない。将来的にTopicsで射影幾何を体系的に扱う予定。

解答

$A$ から $B C$ におろした垂線の足を $H$ とする. $H$ が $X, Y$ のいずれかに一致するときは明らかであるから, そうでないときを示す. $∠ A K B = ∠ A S B = ∠ A H B = 90^{\circ}$ より $A B H K S$ は共円で, 同様に $A C H L T$ は共円である. これより $∡ S K T = ∡ S B A = ∡ A C T = ∡ A L T$ が従うから $S K L T$ は共円である. よって $A H, S K, L T$ は $1$ 点 $P$ (根心)で交わる.

$S B ∥ L C ⊥ A L$ より, $S L$ の垂直二等分線は $B C$ の中点 $M$ を通る. 同様に $K T$ の垂直二等分線も $M$ を通るので, 円 $S K L T$ の中心は $M$ である. よってBrocardの定理より, $K L, S T$ の交点を $Q$ とすると $A P, M Q$ は直交する (ただし $M = Q$ のときは明らか). これと $A P ⊥ B C$ より, $Q$ は $B C$ 上にある.