問題69：Italy MO 2014

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#69

整数論

★★☆☆☆

Italy MO 2014 問3

正の整数 $n$ について, 任意の正の整数 $a$ に対し $a^{n} + (a + 1)^{n} + (a + 2)^{n}$ を割りきる最大の正の整数を $D_{n}$ とおく.

$(a)$ 任意の正の整数 $n$ に対し, $D_{n} = 3^{k_{n}}$ なる非負整数 $k_{n}$ が存在することを示せ.

$(b)$ 任意の非負整数 $k$ に対し, $D_{n} = 3^{k}$ なる正の整数 $n$ が存在することを示せ.

解いてみた

平山： $1 + 2^{n} + 3^{n}$ と $(a + 3)^{n} - a^{n}$ だけ見れば
渡辺： $(a)$ は自明っぽい
宿田：せやね、 $a = p$ とかで
平山： $(b)$ はどうせLTEで…
宿田：LTEの予感
平山： $n = 3^{k - 1}$ で終わりじゃん
宿田：草

解説・感想

最初の帰着は互除法の発想に近い.

解答

$c_{0} = 1^{n} + 2^{n} + 3^{n}$ , $i$ を任意の正の整数として, $c_{i} = (i + 3)^{n} - i^{n}$ とする. 次の補題を示す.

補題.

正の整数 $x$ について, 任意の正の整数 $a$ について $a^{n} + (a + 1)^{n} + (a + 2)^{n}$ が $x$ で割りきれることは, 任意の非負整数 $i$ について $c_{i}$ が $x$ で割りきれることと同値である.

証明.

任意の正の整数 $a$ について $a^{n} + (a + 1)^{n} + (a + 2)^{n}$ が $x$ で割りきれるとき, 自明に $c_{0}$ は $x$ で割りきれる. また, $i$ が正の整数であるとき, $c_{i} = ((i + 1)^{n} + (i + 2)^{n} + (i + 3)^{n}) - (i^{n} + (i + 1)^{n} + (i + 2)^{n})$ より, これは $x$ で割りきれる.

逆に, 任意の非負整数 $i$ について $c_{i}$ が $x$ で割りきれるとき, $a^{n} + (a + 1)^{n} + (a + 2)^{n} = \sum_{i = 0}^{a - 1} c_{i}$ だからこれは $x$ で割りきれる. 以上より示された.

補題より $D_{n}$ は任意の非負整数 $i$ について $c_{i}$ を割りきるような最大の整数である.

$(a)$ $p$ を $3$ でない素数とすると, $c_{p}$ は $p$ の倍数でないから, $D_{n}$ は $p$ の倍数でない. よって, $D_{n}$ の素因数は $3$ 以外にありえない.

$(b)$ $n = 2$ のとき, $c_{0} = 14$ は $3$ の倍数でないから $D_{n} = 1$ . $k$ を正の整数として, $n = 3^{k - 1}$ とする. $n \geq k$ である. LTEの補題より, $v_{3} (2^{n} + 1^{n}) = v_{3} (2^{n} - (- 1)^{n}) = v_{3} (2 - (- 1)) + v_{3} (n) = k$ , $i$ を $3$ で割りきれない正の整数として, $v_{3} (c_{i}) = v_{3} ((i + 3) - i) + v_{3} (n) = k$ である. また, $x$ が $3$ の倍数のとき, $x^{n}$ は $3^{n}$ の倍数であり, これは $3^{k}$ の倍数である. 以上より任意の非負整数 $i$ について $c_{i}$ は $3^{k}$ で割りきれ, また, $c_{1}$ は $3^{k + 1}$ で割りきれない. よって, $n = 3^{k - 1}$ のとき $D_{n} = 3^{k}$ である.