馬杉：構成ゲーじゃん
宿田：先頭 $0$ で、奇数だとラスト $0$ で詰む
馬杉：それ普通に思いついてなかった
平山：偶数で統一的な構成があればいいんだけど
馬杉：実は $2$ べきだけとか無いよね？
渡辺：偶数は数直線を交互に跳ねればいける気がする
宿田：$015243$ とか、$x$ 目線なら $014325$
平山：あー
馬杉：お疲れさまでした

• ぽっぴんジャンプ♪ (宿田)

以下, 求める $n$ はすべての偶数であることを示す. $S_i=x_0+x_1+\cdots +x_i$ とおく.

奇数 $n$ に対し条件をみたす置換が存在したとする. ある $i\geqq 1$ に対し $x_i=0$ であるとすると, $S_{i-1}=S_i$ となり矛盾するため, $x_0=0$ が必要である. しかし $n$ は奇数であるから $S_{n-1}=n(n-1)/2$ は $n$ の倍数で, これは不適である.

逆に $n$ を偶数とする. このとき置換を $x_{2i}=n-2i,x_{2i+1}=2i+1$ によって定める (ただし $x_0=0$ とする). このとき $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$ において $S_{2i}\equiv -i$ および $S_{2i+1}\equiv i+1$ であることが容易に確認され, これは条件をみたす.