問題54：Thailand MO 2019

#54

幾何

★★☆☆☆

Thailand MO 2019 問8

$A B \neq A C$ なる三角形 $A B C$ において, 外接円を $ω$ とする. また内心を $I$ とし, 内接円と辺 $B C$ の接点を $D$ とする. $A I$ を直径とする円と $ω$ の交点を $K (\neq A)$ , 直線 $A I$ と $ω$ の交点を $M (\neq A)$ としたとき, $K, D, M$ は同一直線上にあることを示せ.

解いてみた

馬杉：構図とか言われて終わりそう
宿田：構図やんこれ
馬杉：あーーーー、ほらーー()
平山：は？？
馬杉：どこが構図だよ…
宿田：みけーる
平山：みけーる
馬杉：みけーるを、みっけーる

解説・感想

工事中

解答

解法1.　 $A B C$ の内接円と辺 $A C, A B$ の接点をそれぞれ $E, F$ とすると, $A I$ を直径とする円は $E, F$ は通るから, $K$ は線分 $B C$ と $F E$ についてのMiquel点である. したがって, 以下より直線 $K D$ は $∠ B K C$ を二等分する. $B K : C K = B F : C E = B D : C D$ またwell-known factとして直線 $K M$ は $∠ B K C$ を二等分するから, 以上より示された.

解法2.　 $E, F$ を解法1と同様に定める. いま内接円での反転を考え, 点 $A$ の移る先を $A^{'}$ などと表す. well-known factとして $A^{'}$ は $D E$ の中点であるから, 円 $A^{'} B^{'} C^{'}$ は三角形 $D E F$ の九点円である. 円 $A E I F$ が直線 $E F$ に移ることに留意すると, $K^{'}$ は $D$ から $E F$ に下ろした垂線の足であるから, 特に $K^{'}$ は $B^{'} C^{'}$ について $D$ と対称である. また $I$ は三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ の垂心であることに留意すると, $M^{'}$ は $B^{'} C^{'}$ について $I$ と対称な点である. したがって4点 $D, M^{'}, I, K^{'}$ は台形をなし, 特に共円であるから, 反転前を考えることで示された.

解法3.　 $A_{1}$ を円 $A B C$ における $A$ の対蹠点とすると, これは $I K$ 上にある. また $M A_{1}$ と $B C$ の交点を $M_{1}$ とすると, $I D M M_{1}$ は $I M_{1}$ を直径とする円上にある. いま $M$ を中心とする円 $B I C$ による反転を考え, 円 $A B C$ と直線 $B C$ が対応することに留意すると, 点 $A_{1}$ は $M_{1}$ に移ることが容易に従う. これより円 $I D M M_{1}$ は直線 $I A_{1}$ に移るから, 点 $D$ は点 $K$ に移ることがわかる. よって示された.