宿田：前半はangle-chaseで終わり
馬杉：そうだね
平山：えっ、$P,Q$ の仕事そんだけ？
渡辺：$\mathrm{\Omega }$ は $P,Q$ 使って定義されるからまだじゃない
宿田：でもこれ弧 $BC$ の中点 $S$ 通りそうだしな…
兒玉：ほんまか？
馬杉：angle-chaseで自明ですはい
兒玉：二等辺じゃん…
渡辺：$BF$ と $CE$ の交点 $K$ にしますか
宿田：$SQN$ と $SPM$ が相似 (多分もう使わない)
平山：Miquelだね
平石：$IP=BQ$ (多分もう使わない)
平山：$E,F$ が $D$ にしか拠り所が無くて、謎
平石：$BCIK$ って共円に見えるんだけどどう？
平山：予想が世界一上手
宿田：$S$ が中心になるんか
兒玉：それ示せた、$EIDC$ と $EBDK$ が共円で、方べき
渡辺：兒玉さんの共円はどっちもangle-chaseで言えますね
平石：$EBDK$ の共円どう言うの
宿田：$FBDI$ の共円使う
平山：いやマジで共円だらけで草
渡辺：$\mathrm{\angle }KDE=\mathrm{\angle }EDI$ が言えて終わりでは
兒玉：終わってね？$S$ って中心だから $\mathrm{\angle }ISK=2\mathrm{\angle }ICK=\mathrm{\angle }IDK$ で
平山：終わってた…
平石：ほんまや

• 工事中

$BD\leqq CD$ として一般性を失わない. $\mathrm{\angle }ABM=\mathrm{\angle }MBC=\mathrm{\angle }BCN=\mathrm{\angle }NCA=\theta$ とおけば, $$\mathrm{\angle }NDM=\mathrm{\angle }NDA+\mathrm{\angle }ADM=2\theta =\mathrm{\angle }BCN+\mathrm{\angle }MBC=\mathrm{\angle }BIN$$ より 四点 $D,I,P,Q$ は同一円周上 $\mathrm{\Omega }$ に存在する.

次に $BF$ と $CE$ の交点 $K$ が $\mathrm{\Omega }$ 上に存在することを示す. $BD=CD$ のときは自明であるから, $BD<CD$ とする.

$\mathrm{\angle }ADC=\mathrm{\angle }ABC=2\theta =\mathrm{\angle }NIB$ より, 四点 $I,E,D,C$ は同一円周上に存在する. 同様に $I,F,D,B$ も同一円周上に存在する. さらに $\mathrm{\angle }FBD=\mathrm{\angle }CID=\mathrm{\angle }CED$ より 四点 $E,K,B,D$ が同一円周上に存在する.

以上より, 方べきの定理から以下が成り立つから, 四点 $I,K,B,C$ も同一円周上に存在する. この円を $\omega$ とする. $$FB\times FK=FD\times FE=FC\times FI$$ 　ここで $\mathrm{△}ABC$ の外接円の $A$ を含まない弧 $BC$ の中点を $S$ とすると, well-known factとして円 $\omega$ の中心は $S$ である. さらに $\mathrm{\angle }SDN={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }SAN={90}^{\circ }+\theta$ より $\mathrm{\angle }SIQ+\mathrm{\angle }SDQ={180}^{\circ }$ であるから, $S$ は $\mathrm{\Omega }$ 上にある. 以上より $$\mathrm{\angle }ISK=2\mathrm{\angle }ICK=\mathrm{\angle }ICK+\mathrm{\angle }IBK=\mathrm{\angle }IDE+\mathrm{\angle }EDK=\mathrm{\angle }IDK$$ が従うから, 四点 $I,S,D,K$ は同一円周上にある. これは $\mathrm{\Omega }$ であるから, 特に題意は示された.