平山：評価めっちゃ緩そう
宿田：$k\to k+1$ で増加が大体 $(k-1)/2$ 以下なのを言えばいいのか
平山：これ右辺が整数にならないと小数点またいで面倒い
宿田：最悪 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4$ で場合分けか…
平山：なんか帰納法いらなさそうな気配はある
宿田：$2$ 点決めたらそれを辺とする平行四辺形って $(n-2)/2$ 個以下か？
平山：いや面積 $1$ なんだから高々 $2$ 個でしょ
宿田：あっ()
宿田：ダブルカウントしたら $n(n-1)/4$ になる
平山：大体いけてるんだよな、あと $2n$ くらい？
平山：確かに凸包上の辺とか明らかに余分だもんな
兒玉：それぞれの傾きについて、上下はつらい
宿田：つらい
平山：つらい
宿田：直線の傾きの種類数を見ればいいの？
平山：$n-1$ 種類は絶対あって、もう一つくらい流石に
兒玉：どの点からも他の $n-1$ 点への直線が平行になる、流石につらそう
兒玉：凸包上で両隣の点見ると死ぬと思う
平山：ああそれが確実ですね

• 工事中

ここで単に線分と呼んだとき, $n$ 個の点のうち二つを結んで得られる $n(n-1)/2$ 本を指すとする. また, $n$ 個の点のうち $4$ 個を頂点とする面積 $1$ の平行四辺形をよい平行四辺形とする.

線分をその傾きによって $G_1,G_2,\dots ,G_l$ とグループに分ける. すなわち, 同じグループどうしの線分は平行であり, 異なるグループどうしの線分は平行でないようにする. $G_i$ に含まれる線分の本数を $m_i$ とする.

$l\geqq n$ を示そう. $n$ 個の点の凸包を考え, その外周で隣りあう $3$ 点 $X,Y,Z$ をとる. それ以外の点を $W_1,\dots ,W_{n-3}$ とする. どの $3$ 点も同一直線上にないことから, 線分 $YX,YZ,Y{W}_1,\dots ,Y{W}_{n-3}$ は互いに平行でない. また凸包の性質から, 線分 $XZ$ は線分 $YX,YZ,Y{W}_1,\dots ,Y{W}_{n-3}$ のいずれとも平行でない. 以上より示された.

ある線分に対して, それを辺とするよい平行四辺形の個数をその線分の指数と呼ぶ. 線分 $AB$ について, これを辺とする異なるよい平行四辺形 $ABCD,ABEF$ が存在するとする. 線分 $CD$ と $EF$ は線分 $AB$ と同じグループに属し, 直線 $CD,EF$ のそれぞれと直線 $AB$ との距離は等しい. $C,D,E,F$ が同一直線上にないこととあわせて, 線分 $CD,EF$ は直線 $AB$ に関して反対側にある必要があるから, 以上よりすべての線分の指数は高々 $2$ である.

いま, $m_i=1$ のときは $G_i$ には指数 $0$ の線分が $1$ 本含まれ, $m_i>1$ のときは $G_i$ には指数が $1$ 以下の線分が少なくとも $2$ 本含まれることがわかる. よい平行四辺形は $4$ 本の線分を辺とするから, 各線分について指数を総計することで $$4A(n)\leqq 2\cdot \frac{n(n-1)}{2}-2l\leqq n^2-3n$$ より題意は示された.