渡辺：このゲーム $p$ が地雷すぎでしょ
平山：でも引き分ける可能性はあるのか
渡辺：少なくともBenは勝てない
平山：Ana目線とBen目線どっちが良いのかな
渡辺：原始根との相性は良さげ？
平山：ただの和の問題になるね
馬杉：$0,1,\cdots ,p-2$ が $2$ セット分あるのか
渡辺：$(p-1)/2$ が抜けてる
馬杉：先にそれ取るくらいしか際立ったことが
平山：あとはBenと同じやつ取るとか？
馬杉：それでいいじゃん
平山：そもそも原始根見なくてもWilson…
馬杉：Wilsonの定理の再開発じゃん

• 積の問題を和の問題に変換できるのが原始根の強みであり, 今回こそ本質では無かったが見通しが良くなることも多いので, 素数 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}$ のときはとりあえず考えてみると美味しいことがあるかもしれない

Anaが以下のような戦略で勝てることを示す. ここで各 $1\leqq i\leqq p-2$ に対し組 $\{i,i+p\}$ をペアと呼ぶ.

• 最初は $p-1$ を選ぶ.
• それ以降は, 直前にBenが $p$ を選んだとき, まだ要素が一つも選ばれていないペアから適当な数を選ぶ.
• $a\ne p$ を選んだとき, $a$ と同じペアに含まれるもう一方の要素 (すなわち $a\pm p$) がまだ選ばれていないならばそれを選び, そうでないならばまだ要素が一つも選ばれていないペアから適当な数を選ぶ.

Benはどこかで必ず $p$ を選ぶことになるため, そのスコアは $p$ の倍数になり得ない. またAnaは最終的に各ペアからちょうど一つずつ選んでいることが容易に確かめられるため, 最初の $p-1$ と合わせてWilsonの定理よりそのスコアは $p$ の倍数になる. よって示された.