平石：条件がヤバすぎる
平山：頭破裂した
馬杉：めんど！！！！！！
兒玉：は？
渡辺：は？という感想しか出てこない
宿田：相似の条件から $APQ$ 共線では
平石：それは正しい
宿田：なんなら接線になってる
兒玉：全然 $PQ$ と $RS$ 平行になってくれない
平石：$R$ と $S$ って円 $ABC$ に乗ったりしますか？？
平山：あ、あってそうな気がする
宿田：$R,S$ を円に乗せて書いたら成立する図になった
渡辺：というかそれが円に乗れば終わりか
平山：本当だ、二等辺ができるもんな、なんだこれ
平山：もはや $Q$ とか $S$ って要らないですね、図がすっきり！
平石：$A$ を通る円がたくさんあるので、反転を考える
馬杉：反転割と良いと思う
平山：相似の条件とかかなりしょっぱくないか？
渡辺：逆から辿って $BRDC$ と $ERPA$ の四点相似が見える
平山：円 $ABC$ と $ADP$ の交点を $R_1$ として、適当な相似を示せばいいか
平石：逆に $BDC$ と $EPA$ の回転相似の中心 $R_2$ を取るのはどうだろう
平石：行けた気がする、$\mathrm{\angle }{R}_{2}AE=\mathrm{\angle }{R}_{2}CB$ から $ABC$ と共円で
平石：$\mathrm{\angle }P{R}_{2}D$ は回転角なので $\mathrm{\angle }A{R}_{2}C$ と等しい
平石：これは $\mathrm{\angle }QAC$ とも等しいので $ADP$ とも共円になる
平山：天才じゃん
渡辺：普通に $AP{R}_1$ と $CD{R}_1$ の相似言えるからそれでも終わるよ
馬杉：天才がおった
兒玉：図に苦戦してて追ってるだけで終わってましたね…
宿田：図を描くのに手間取りすぎて置いてかれましたね…

• 四点相似を使えば非自明なことができるという気持ちがあった

$\mathrm{\angle }PAE=\mathrm{\angle }ACB$ より, $AP$ は $\mathrm{△}ABC$ の外接円の接線である. $AQ$ も同様であり, $A,P,Q$ は同一直線上に存在する. ここで $\mathrm{△}ABC$ の外接円と $\mathrm{△}ADP$ の外接円の交点のうち, $A$ でないものを $R_1$ とする. 接弦定理より $\mathrm{\angle }PA{R}_1=\mathrm{\angle }DCR$ で, 円に内接する四角形の性質より $\mathrm{\angle }AP{R}_1=\mathrm{\angle }CD{R}_1$ なので, $AP{R}_1$ と $CD{R}_1$ は相似である. $APE$ と $CDB$ も相似なので, $PAE{R}_1$ と $DCB{R}_1$ の相似が従う. よって $\mathrm{\angle }A{R}_{1}E=\mathrm{\angle }BAC$ である. $\mathrm{△}ADP$ の外接円上の点 $R$ であって $\mathrm{\angle }ARE=\mathrm{\angle }BAC$ をみたし, かつ $C$ と $R$ が $AB$ に関して反対側にあるようなものは高々 $1$ つである. よってこの $R_1$ が $R$ に一致する.

以上より $R$ が $\mathrm{△}ABC$ の外接円上に存在することが示された. 同様に $S$ も $\mathrm{△}ABC$ の外接円上にあり, $RS\parallel PQ$ より $RS$ は点 $A$ での外接円の接線に平行なので, $AR=AS$. さらに $\mathrm{\angle }ARE=\mathrm{\angle }ASD$ なので, 直線 $RE$ と $SD$ は直線 $AO$ に関して対称である. よってこの $2$ 直線は $AO$ 上で交わる.