平山：限りなくギャグっぽい
渡辺：$f(f(x))=x+2019$ または $x+4038$
宿田：どこかで後者ならそれが満たすな
渡辺：$2019$ が奇数なのが本質説があって
平山：常に $f(f(x))=x+\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{d}$ は無理ってやつ
平山：確か過去のIMOで見て、1987年とかかな
渡辺：数直線埋めるとどっかで矛盾する雰囲気が
平山：1987年であってた、記憶力オバケかもしれない
平石：なんで年代まで覚えてんねん
馬杉：なんか適当に $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2019$ でペアにすれば
平山：$f(x+2019)=f(f(f(x)))=f(x)+2019$ だからOK
渡辺：いいんじゃない
平山：というか $x<f(x)$ だからそれすら要らなかった…
馬杉：色々と終わってんじゃん

• 上述のIMO1987の問4も参照のこと

以下より各 $x$ について $f(f(x))=x+2019$ または $f(f(x))=x+4038$ が必要である.$$2\leqq (f(f(x))-f(x))+(f(x)-x)\leqq 4038$$ここである $x_0$ について $f(f(x_0))=x_0+4038$ であったとすると, $f(x_0)=x_0+2019$ が必要であり, これより帰納的に任意の $k$ について $f^k(x_0)=x_0+2019k$ であることが容易に従う. したがって以下, 任意の $x$ について$$f(f(x))=x+2019$$であると仮定し矛盾を導けばよい.

証明1.　工事中

証明2.　一般に $c>0$ を奇数とし, 任意の $x$ に対し $f(f(x))=x+c$ であるような $f:{\mathbb{Z}}^{+}\to {\mathbb{Z}}^{+}$ は存在しないことを示そう. 明らかに $f(x)\ne x$ で, $f$ は単射である. いま仮定より$$f(x+c)=f(f(f(x)))=f(x)+c$$であるから, $f$ は $\mathbb{Z}/c\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/c\mathbb{Z}$ とみなすことができる.

ここである $x_0\leqq c$ について $f(x_0)\equiv x_0(\mathrm{mod}c)$ であったとき, $k=(f(x_0)-x_0)/c$ とおけば$$f^{2k}(x_0)=x_0+kc=f(x_0)$$となる. しかしこのとき, 単射性より$$x_0+(2k-1)c=f^{4k-2}(x_0)=f^{2k-1}(x_0)=x_0$$となり不適である. したがって $\mathbb{Z}/c\mathbb{Z}$ の各元を頂点とし, $x$ と $f(x)$ の間に辺を張ったグラフを考えると, 一連の議論によりこのグラフの各連結成分は長さ $2$ のサイクルとなるが, これは $c$ が奇数であることに反する.