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AB<AC なる鋭角三角形 ABC において, A から対辺におろした垂線の足を D とする. 点 B′ と C′ がそれぞれ半直線 AB,AC 上にあって, B′,C′,D が同一直線上にあり, 4 点 B,C,B′,C′ が点 O を中心とする同一円周上にあるとする. 線分 BC の中点を M, 三角形 ABC の垂心を H とするとき, 四角形 DHMO は平行四辺形であることを示せ.
平山：AD と ABC の外接円の交点が欲しいので、D′ とします 平山：すると BDB′D′ と CDC′D′ が共円になる 兒玉：AA′ が ABC の外接円の直径になるような A′ をとると 平山：HMA′ は共線ですね 兒玉：D′,O,A′ の AB への射影を考えると、∠AB′D′=90∘ になってほしい 平山：それ上の共円で言えてますよ 兒玉：終わりでは 平石：O が A′ と D′ の中点ってことを示したのか 平山：D は HD′ の中点だからそれで終わってる
三角形 ABC の外接円を Ω とし, 点 D′ を AD と Ω の交点であって A でないもの, 点 A′ を AA′ が Ω の直径となるような点とする. ∠AB′C′=∠BCA=∠BD′A より四点 B,D,B′,D′ は同一円周上に存在し, ∠BDD′=90∘ より, ∠AB′D′=90∘ である. また AA′ は Ω の直径より ∠ABA′=90∘ である. さらに O は BB′ の垂直二等分線上にあるので, BB′ の中点を MB とすると BA′//MBO//B′D′ であり, 直線 MBO は D′A′ の中点を通る. 同様に, CC′ の中点を MC とすると, 直線 MCO は D′A′ の中点を通るから, 以上より O は D′A′ の中点であることが分かる.
well-known factとして D は D′H の中点であり, また M は A′H の中点であるから, 中点連結定理より示された.
