渡辺：$0$ 封じ嫌だな
平石：とりあえず $x,-x$ は解
渡辺：$-x$ は範囲外
平石：あっ
平山：$(\alpha ,\beta ),(\beta ,\alpha )$ で単射言えますやん
馬杉：$y=(a-f(x))/x$ って代入が有効な気がする
渡辺：その代入から $a>f(x)$ なら $f(a)>x$ が言える
宿田：その式に $a=x$ 代入して $f(x)\ge x$ わかりました…
渡辺：単調性があれば証明終わることが分かった
渡辺：$f(x)+xy>f(x)f(y)\ge f(x)y$ で $y$ を大きくする
馬杉：$x<y$ かつ $f(x)>f(y)$ なる $x,y$ があったとして
馬杉：$a=(f(x)-f(y))/(y-x)$ とおくと $f(a)=1/a$
馬杉：それで特に $a\le 1$
宿田：あー $(a-f(x))/x=(a-f(y))/y$ を解いたのか
馬杉：役に立つかはわからん
平山：あれ？普通に $f(x)>x$ 仮定して矛盾言える気がする
平山：$a$ を大きく取ると $f(x)f((a-f(x))/x)\ge (x+\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e})(a-f(x))/x\ge a$ とできて
平山：このとき左辺を $a^{\prime }$ とおけば $f(a)=f(a^{\prime })+x$ になって
平山：これを繰り返すと負数が像に入ってダメにならない？
馬杉：はい天才
渡辺：おっけ理解
平山：単調性どころか単射すら現れなかった…

• 文面だけだと妙手をノータイムで連発しているように見えるが, 実際はもっと無駄な手を大量に試していて, 何も進展の無いまま膠着している時間のほうが遥かに長く, しんどかった
• 正の実数を相手にするFEは, $0$ を扱えないなど制約が格段に厳しいため, どこかしらでad-hocな一手を求められることが多く難問になりがち
• ただし安易に逆数を取れたりするのはメリットになりがち

求める関数は $f(x)\equiv x$ であることを示す. これが与式をみたすことは明らかである.

ある $x_0$ について $f(x_0)<x_0$ であると仮定すると, $P(x_0,1-f(x_0)/x_0)$ より$$f(x_0)=f(f(x_0)f(y))+x_0>x_0$$ となるから矛盾である. すなわち任意の $x$ について $f(x)\geqq x$ である.

以下, ある $x_0$ について $f(x_0)>x_0$ であるとして矛盾を導けば良い. このとき, 十分大きい $a$ をとれば $$f(x_0)f\left(\frac{a-f(x_0)}{x_0}\right)\geqq \frac{f(x_0)}{x_0}a-\frac{f(x_0{)}^2}{x_0}\geqq a$$ とできる. このとき最左辺を $a^{\prime }$ とおけば, $P(a,(a-f(x_0))/x_0)$ より $f(a)=f(a^{\prime })+x_0$ となる. 同様にして, 任意の正整数 $n$ に対し $f(a)-n{x}_0$ は $f$ の像に入るが, これは $f$ の終域が ${\mathbb{R}}^{+}$ であることに反する.