馬杉：$f(x)\equiv x$ は解
宿田：$f(x)\equiv 0$ も
平石：$f(x)\equiv -x$ も
馬杉：$f\equiv 0$ または全射
平山：$f(f(0)f(y))=0$ だから全射なら $f(0)=0$
平山：それで $f(x^2)=xf(x)$ かな
宿田：零点 $a$ を $x$ と $y$ それぞれに代入して比較すると
宿田：$af(x^2)=xf(a^2)$ か
宿田：平山の式から $f\equiv 0$ か零点 $0$ のみか
馬杉：おっ、もうなんかいけそうな雰囲気
平山：$y=-x$ で $f(x)f(-x)=-x^2$
宿田：$f(x^2)=xf(x)=-xf(-x)$ で終わりです。
平山：数分で解ける問題では無いと思うけどな…

• $x$ が外に出ているから全射性が言えてほしい
• 全射から零点とって代入するのは定石
• それなりに式が対称なら $P(x,y),P(y,x)$ の比較も定石
• $f(x^2)$ で $x$ と $-x$ を比較するのも定石
• $f(x{)}^2=x^2$ から 直ちに $f(x)\equiv x$ または $f(x)\equiv -x$ としないように！

$f(x)\equiv 0$ は与式を満たすから, 以下 $f(s)\ne 0$ なる実数 $s$ が存在するとして良い. このとき $P(x,s-x)$ より任意の $x$ について $xf(s)$ は $f$ の値域に含まれるから, $f$ は全射である.

$P(0,y)$ より任意の $y$ について $f(f(0)f(y))=0$. いま $f(0)\ne 0$ とすると, $f$ の全射性より $f(0)f(y)$ は任意の実数値をとるが, これは再び全射性に矛盾. よって $f(0)=0$ であり, $P(x,0)$ より $f(x^2)=xf(x)$ である.

ある実数 $a$ が $f(a)=0$ をみたすとする. このとき $a=0$ であることを示す.

証明1.　$P(a,s)$ および $P(s,a)$ より以下が従うから, $s\ne 0$ より $a=0$ がわかる. $$asf(s)=af(s^2)=asf(a+s)=sf(a^2)=asf(a)=0$$

証明2.　$P(a,s-a)$ より以下が従うから, $a=0$ がわかる. $$af(s)=f(a^2)=af(a)=0$$ 　したがって $P(x,-x)$ より $f(x^2+f(x)f(-x))=0$ だから, 任意の $x$ について $f(x)f(-x)=-x^2$ である.

ここで $f(x^2)=xf(x)$ とこの $x$ を $-x$ に置き換えた式とを比較して, $x\ne 0$ に対し $f(-x)=-f(x)$. これは $x=0$ でも成り立つ. よって $f(x{)}^2=x^2$ であり, 任意の $x$ について $|f(x)|=|x|$である.

ある $a,b\ne 0$ が $f(a)=-a,f(b)=b$ を満たすとすると, $P(a,b)$ より $|a^2-ab|=|a^2+ab|$ だが $$|a^2+ab{|}^2-|a^2-ab{|}^2=4a^{3}b\ne 0$$より矛盾. よって $f(x)\equiv x$ または $f(x)\equiv -x$ が必要で, 逆にこれらも与式を満たす.