問題2：IGO 2017

幾何

★★★★☆

IGO 2017 Advanced 問3

鋭角三角形 $A B C$ があり, その外心を $O$ とする. $A$ から対辺におろした垂線と直線 $C O$ の交点を $K$ とし, 線分 $A K, A C$ の中点をそれぞれ $P, M$ とする. 直線 $P O$ と $B C$ の交点を $Y$ , 三角形 $B C M$ の外接円と $A B$ の交点のうち $B$ でない方を $X$ とするとき, $4$ 点 $B, X, O, Y$ は同一円周上にあることを示せ.

解いてみた

平石：非対称だね
兒玉： $A O ⊥ X M$ （あたりまえ）
平山： $C K / / P M$ （あたりまえ）
平石： $O M ⊥ A C$ （あたりまえ）
宿田： $A O$ と $X M$ 垂直ってマジ？
渡辺：easy angle-chasing
平石： $∠ A C B = ∠ A X M$ とかから従うね
兒玉： $Y$ がよくわからんなあ
平山：垂直が多め
兒玉：示すべきこととして $∠ P O X = ∠ B$ が楽なのかなあ
馬杉： $K, P, Y$ の系列と $X$ の系列に今のところ分かれてるなあという印象です
平石： $X$ は完全に独立に定義されてるもんね
平山：とりあえず $X$ を消すなり意味付けるなりするべきっぽい、方べきとか見るべき？
平石： $∠ M A O = ∠ O C M = ∠ O M X$
平山：その等角から相似な直角三角形がいくつかあって
平石：あ、これ $∠ K A B$ も等しいです
平山： $O$ と垂心 $H$ って等角共役だもんね
宿田：円 $A X M$ を描きました
平石： $A K$ と $M X$ の交点が垂心に見えた
馬杉：その予想はこっちではだいぶズレてる
宿田： $O M$ と $A H$ の交点が円 $A M X$ に乗りました
平石：それは乗るね
平山：それは正しい
宿田：垂心・外心あたりの構図がやっぱりちらつく
平山：円 $A M X$ と外接円の交点が良さそう
宿田：みけりゅ
平山：伸ばすと共点になるやつ
宿田：さっき言った交点がどこかに対応したりしないかな
宿田： $O M$ と $A H$ の交点 $U$ が、Miquel点中心の回転相似で $A H$ と円 $A B C$ の交点 $V$ に対応する
馬杉：相似は普通に使えそう
渡辺： $P, K$ に関する議論が足りない気がする
兒玉： $P, K$ の議論が足りないのわかります
平山： $X$ の特徴付けは十分行けているでしょう
平石：三角形 $A K C$ とか $A P M$ の外接円は $A B$ に接します
宿田： $A X M$ と $P U M$ って相似？
兒玉：それは正しい
馬杉： $A P M$ と $X U M$ と $B V C$ の相似がある
平山：それはそうだけど $A K C$ もだね
平石：それは今思った
平山：回転相似が $2$ 組か
兒玉： $P O$ についてわかりたい
平石： $P O X$ と $A M X$ が相似と予想
宿田：嘘な気がする
平石：でも $∠ P O X = ∠ A M X$ は示すべきことそのものだけど
渡辺：あっている気がする
馬杉：その他の角が怪しいんじゃない？
宿田：あってそうな気がしてきた
兒玉： $A P : M O = A C : B C$ が言えたらその相似が言える
馬杉：どうしてですか？
兒玉： $X A P$ と $X M O$ の相似が、辺の比と $∠ X A P = ∠ X M O$ から
平石： $A X : M X = A C : B C$ だから
渡辺：ここまで来たら計算もありだね
兒玉：えっ、もう普通に計算で行けないですか
平石： $A P / A C = B V / 2 B C$ で、これが $M O / B C$ と等しいの？
馬杉： $B V = 2 M O$ を示せばいいの？すぐ行けそう
平山：正弦定理からともに $2 R \cos B$ で終わりです
兒玉： $B H = 2 M O$ って構図じゃん
平山： $B H = B V$ も構図じゃん
平石：あーほんとだ、構図二つでも行けるんだこれ

解説・感想

外心と垂心の等角共役, それ自体が大事というよりangle-chasingで意識しても良いと思う
$X M, B C$ の平行と $H, O$ の等角共役を合わせれば $A O ⊥ X M$ は実際当たり前だった (2行目)
垂心と外心なんてそこら辺の角度全部わかるんだから計算は当然やるべき, $∠ O M X$ は収穫という感覚が欲しい
円 $A X M$ は $∠ B A H = ∠ O M X$ があったので描いた, 共円ありきの作図 (18行目)
Miquel点による回転相似を多点相似に持ち込む技法, 好奇心でやったら上手く行ってしまった (29行目)
$A X M$ と $P U M$ の相似は $∠ A M P = ∠ X M U$ から見えた, 回転相似だらけ (35行目)
終盤まで来たら何をしてもできますね, これくらいの長さ計算はゴリ押していこう

解答

$A K$ と $M O$ の交点を $U$ , $A K$ と円 $A B C$ の交点のうち $A$ でない方を $V$ とする.

まず, 以下より $A X U M$ の共円がわかる. $∠ X M U = 90^{\circ} - ∠ A M X = 90^{\circ} - ∠ A B C = ∠ X A U$ これと $P M / / K C$ に注意すれば, 簡単な角度計算より三角形 $A M P, X M U, B C V$ の相似が従う.

次に, 円 $A B C$ の半径を $R$ とする. 三角形 $O B V, O M C$ に注目することで以下がわかる. $B V = 2 R \cos B = 2 M O$ あるいは垂心を $H$ としてともに $B H$ に等しいことを用いてもよい. すなわち $M O : B C = B V : 2 B C = A P : 2 A M = A P : A C$ したがって, 以下が従う. $A P : M O = A C : B C = A X : X M$ これより $∠ X A P = ∠ X M O$ とあわせて, 三角形 $A P X$ と $M O X$ は相似であることがわかる. よって, 三角形 $A M X$ と $P O X$ も相似であるから, $∠ P O X = ∠ A M X = ∠ A B C = ∠ X B Y$ より題意は示された.