問題19：Iran TST 2018

#19

幾何

★★★☆☆

Iran TST 2018 Test1 問4

$∠ A \neq 90^{\circ}$ なる三角形 $A B C$ があり, $B, C$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $E, F$ , $∠ A$ の二等分線と $E F, B C$ の交点をそれぞれ $M, N$ とする. 点 $P$ を $M P ⊥ E F, N P ⊥ B C$ をみたす点とするとき, $A P$ は辺 $B C$ の中点を通ることを示せ.

解いてみた

平山：円出てこないな
渡辺： $A B C N$ と $A E F M$ で四点相似
渡辺：angle-chaseで $P M = P N$
平山：どうせ $B C$ と $E F$ の交点 $T$ とるんでしょう
平山： $P T$ が直径の円が出てきます
宿田：一応symmedianを取っておきました
兒玉：中線上って条件がよくわからないですね
平山：円 $B C E F$ の中心という見方もあり得そう
兒玉： $P$ 中心の $M, N$ を通る円がある
馬杉： $A B C$ の外接円は流石にとっておいた方が良いような
兒玉：外接円取るの良さそう、というのも $B C$ の中点を $L$ 、
兒玉： $∠ A$ の二等分線と外接円の交点を $D$ とすると
兒玉： $A N : A D = P N : L D$ とかを示せばいいので
渡辺：もう計算で行けそう
宿田：どうせ角度ほとんどわかってるしどうやっても…()
渡辺：外接円の直径を $1$ 、角度を $2 α$ などとおいて
渡辺： $N P = M N / 2 \sin (2 α + β) = A N (1 - \cos 2 α) / 2 \sin (2 α + β)$
渡辺： $L D = B D \sin α = \sin^{2} α$
渡辺： $A D = \sin (2 α + β)$ でおしまいかな
平山：めっちゃ消えるじゃん

解説・感想

四点相似は見つけたら大事にしよう
辺の長さを計算すれば解けそうだなと思ったら、無理に初等的な議論をせずに辺の長さを地道に計算する方が近道だったりもする
一瞬だけ言及されたsymmedianを使っても解けるし、Miquel点を使っても解けると思う、汎用性は高い
AoPSでは「Humpty point」を用いた解答が圧倒的多数だが、日本では全く知られていないように感じる

解答

$A B = A C$ のときは明らかなので, そうでないときを示す. $B C$ の中点を $L$ とする.

解法1.　円 $A B C$ と $A N$ の交点のうち $A$ でない方を $D$ とする. $D L ⊥ B C$ であるから, 以下 $A N : A D = P N : L D$ を示せばよい. $∠ A = 2 α, ∠ B = 2 β, ∠ C = 2 γ$ とおく.

$A E M F$ と $A B N C$ の相似より $A M : A N = \cos 2 α : 1$ であるから, $P N = \frac{M N}{2 \cos (β - γ)} = \frac{A N (1 - \cos 2 α)}{2 \cos (β - γ)} = \frac{A N \sin^{2} α}{\cos (β - γ)}$ また正弦定理より $A D = \frac{A B \sin (α + 2 β)}{\sin 2 γ} = \frac{A B \cos (β - γ)}{\sin 2 γ}$ が従い, $L D = (B C \tan α) / 2$ であるから, 示すべき式は $1 : A B = 2 \sin^{2} α : B C \sin 2 γ \tan α$ である. これを適当に同値変形すると $A B : B C = \sin 2 γ : \sin 2 α$ になり, これは正弦定理そのものである.

解法2.　三角形 $A B C$ の垂心を $H$ とし, $A H$ の中点を $S$ とする. このとき $S$ は円 $A E H F$ の中心である. また弧 $E A F$ の中点を $J$ , 弧 $B A C$ の中点を $K$ とすると, $A, N, J, L, K$ は共円であり, $E F ⊥ J S, B C ⊥ K L$ が従う. さらに $L$ は円 $B C E F$ の中心であることから, $E F ⊥ L S$ であり, これらより $S, J, L$ は共線である.

簡単なangle-chaseによって三角形 $P M N$ は二等辺三角形であり, $A H / / P N$ よりこれは二等辺三角形 $S J A$ と相似であり, さらに $A H / / K L$ と $S, J, L$ の共線よりこれは $R J K$ とも相似である. ここで $A E F M J$ と $A B C N K$ の相似より $A M : A J = A N : A K$ であり, これより $P M N$ と $R J K$ の相似拡大の中心は $A$ であるから, 特に題意は示された.

解法3 (moving points).　題意より $M, N$ の制約を弱めて, より一般に以下の命題を示す.

補題.

それぞれ $E F, B C$ 上の点 $E, F$ が $∠ B A M = ∠ C A N$ をみたすとき, $A, P, L$ は共線である.

$B C$ と $E F$ の交点を $T$ とする. $A E M F$ と $A B N C$ の相似より, $M$ が $E F$ 上を線形に動くとき $N$ も $B C$ 上を線形に動く. このとき点 $P$ もある直線上を線形に動くことが容易にわかる. ここで明らかに $A N ⊥ B C$ のとき $P = A$ であり, $N = L$ のとき $L$ が円 $B C E F$ の中心であることから $P = L$ が従うため, この直線は $A L$ であり, 題意は示された.