平山：なんやこれ…
兒玉：ちょっとクイっと出来ることを示すのか
平山：凸なまま膨らませられる余裕があるってことか
馬杉：境界上もOKってことか
渡辺：凸性の限界が迫ったらその手で逃げるのかな
平山：キツキツなケースを作ろうとするとサイズが大きくなるから
平山：どうにでもなるみたいなイメージなのかな
馬杉：面積による評価みたいなのはナイーブには無理そう
渡辺：各辺を二倍に伸ばして大丈夫なやつがあればいいんだけど
渡辺：正多角形とかではもちろん使えない
馬杉：主張自体は緩い雰囲気の話だし、気持ちを理解したい
宿田：圧縮して $gcd$ を $1$ にすると考えやすくなったりしないかな
馬杉：全然曲がれなくて格子点しか通れないんだから
馬杉：辺って長くなるはずで、それを定量的に評価できれば
兒玉：1個の頂点を距離 $1$ だけ動かすという制約の下で出来るのかな
平石：いやそれは $(\pm 1,0),(0,\pm 1)$ のとき無理です
平山：赤色の範囲に格子点が必ずあるってことやろ？

平山：隣り合う角度の和が必ず ${180}^{\circ }$ より大きいとしていいな
渡辺：ある辺 $AB$ から距離最小の格子点 $X$ を取った時に
渡辺：$X$ を入れない直線 $\ell$ の傾きみたいなことを考えた
平山：距離最小の点を取るみたいな議論はありがちだし悪くないと思う
平山：各辺で距離最小の点を取って、さらに最小のやつを見るみたいな
渡辺：整数論をしています…
平山：えっ解けた気がする、$A-B-C$ という頂点の並びがあったときに
平山：$AB$ と $X$ がそういう最小のペアとして、$B$ が $XAC$ の内部とすると
平山：$X$ が $BC$ により近くなって矛盾です…

平石：それ言えるのなんで？
平山：見た目からそれはそうだけど、$\sin$ とか使えばいいんじゃない
平石：あー、これ適当に移動させて $X$ の射影を $AB$ 上に落とせるのか
渡辺：平山のその解法、格子点であることあんまし使ってないよね
平山：正の距離が最小の点を取れる保証だけかな、まあそれが本質だけど
渡辺：上で言いかけたこと行けると思う、$gcd(a,b)=1$ としておいて
渡辺：$c,d$ を $ad-bc=1$ と取って $b/a<f/e<d/c$ なる分数を考えて
平山：あ、めっちゃFarey数列っぽい
渡辺：$e\ge a+c$ を言おうとしたんだけど既出？
平山：間に最初に割り込む分数は $(b+d)/(a+c)$ というのが有名事実
渡辺：車輪の再発明をしてしまった
平山：それでどう終わる？
渡辺：傾きの分母が最大の辺を $AB$ にすればいけると思う
渡辺：軸に平行なのは適当にごまかして
平山：ああ、わかった
(※編注：$b/a$ が $AB$ の、$d/c$ が $AX$ の、$f/e$ が $\ell$ の傾きに対応している。$AB$ を上のようにとれば隣の辺は $\ell$ になり得ず、赤色の領域に $X$ が必ず入る)

• なんらかの「距離最小」を見るのは組み合わせ幾何の超基本なのでまず考えるべき
• というか一般に「有限個なので／すべて正整数なので最小を取ってくる」 $\to$ 「それが条件を満たさないとしたら最小性に矛盾」のような議論はかなり出てくるので, 考え方の引き出しとして持っておくべき
• そもそも組み合わせ幾何自体そんなに見ない上にad-hoc度が大きいのでコメントがしづらい

解法1.　まず以下の補題を示す.

$\mathrm{\Gamma }$ の各辺に対し補題のような格子点を適当に取り, さらにこのような組のうち距離が最小になるようなものを $(AB,X)$ とする. 加えて $AB$ の中点について対称移動することによって $X$ は $\mathrm{\Gamma }$ の外部にあるとしてよい (この対称点も格子点であることに留意せよ). 以下 $\mathrm{\Gamma }$ にこの $X$ を頂点として加えたものが $\mathrm{\Omega }$ として適することを示す. ただしこの過程で ${180}^{\circ }$ の角が発生したときは適当に頂点を削除するものとする.

$B$ に隣接する $A$ でない頂点を $C$ として, $B$ が三角形 $XAC$ の内部にあったとする. このとき $\mathrm{\angle }XBA\le {90}^{\circ }$ および $\mathrm{\angle }ABC<{180}^{\circ }$ などに留意すると, 以下の不等式の成立が容易に確認される.$$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(X,AB)=BX\sin \mathrm{\angle }XBA>BX\sin \mathrm{\angle }XBC=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(X,BC)$$ただし $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(X,AB)$ で $X$ から直線 $AB$ への距離を表す. これは組 $(AB,X)$ の最小性に反する.

解法2.　$\mathrm{\Gamma }$の辺がすべて軸に平行なとき, すなわち $\mathrm{\Gamma }$ が長方形であるときは容易にわかるから, 以下そうでないとする. $\mathrm{\Gamma }$ は適当に ${90}^{\circ }$ ずつ回転できることに留意し, $\mathrm{\Gamma }$ の外周のうち上に凸でかつすべての辺の傾きが正である (ただし $y$ 軸に平行なものは含めない) ような部分について考える.

このような部分に含まれる辺すべてについて傾きの有理数を考え, それらを既約分数として表したときに分母が最大となるような辺 $AB$ をとる. ただし $A$ の方が $x$ 座標が (すなわち $y$ 座標も) 小さいものとする. また $AB$ の傾きを $b/a$ (ただし $gcd(a,b)=1$) とおく. なおこの $a,b$ 含め以降で用いる変数はすべて非負整数とする.

いま $ad-bc=1$ なる整数の組 $(c,d)$ であって $0\leqq c<a$ なるものを考えると (そのようなものは存在する), $1\leqq d\leqq b$ が成立する. さらに $c=0$ のときは容易に示されるから, $c>0$ とする.

ここでFarey数列の簡単な帰結として以下の事実を認める.

$\overrightarrow{AX}=(c,d)$ なる点 $X$ をとったとき, $\mathrm{\Gamma }$ に $X$ を頂点として加えたものが $\mathrm{\Omega }$ として適することを示す. ただしこの過程で ${180}^{\circ }$ の角が発生したときは適当に頂点を削除するものとする. $B$ に隣接する $A$ でない頂点を $Z$ とし, $AZ$ の傾きが $AX$ のそれ以上であることを示せば良いが ($a(b-d)-b(a-c)=-1$ に留意すれば頂点 $B$ 側についても同様である), $AZ$ の傾きが正でないとき明らかで, そうでないとき事実を踏まえると $a$ の最大性より成立する.