渡辺：$\omega$ の中心が $AC$ 上に乗る
平山：ってことは $N$ がその中心なのか
兒玉：$MN$ 上にうまい点を取って根心で示すのかな
平石：$\mathrm{\angle }ADQ=\mathrm{\angle }IAQ$
宿田：$\omega ,AD,BI$ が共点と予想
平山：$\omega$ と $AD$ の $D$ じゃない方の交点ってこと？
宿田：$DQ$ って $AI$ の中点通るのか、中点連結とか使えないかな
平石：宿田の予想、angle-chaseするだけだった
渡辺：辺比計算を試みたいと思います
宿田：あっ、$N$ 若干特徴づけられるかも
馬杉：$I$ と同じ高さにあるとか？
宿田：さっきの共点を $J$ として、$JN$ と $AB$ が平行になってて
平山：ついでに $QJ$ と $BC$ も平行だね
宿田：さらに $JN,BC,\omega$ が共点と予想される
兒玉：$JN$ と $BC$ の交点を $H$ にしますか
平山：言えてるね、$CHQJ$ が長方形だから
宿田：示すべきことってこれで $AM:MB=JN:NH$ だから終わってませんか
兒玉：$AB$ が対角線の長方形との相似拡大の中心とみるとわかりやすいね
馬杉：こういうの苦手すぎる

• $J$ の利用に気付いて $N$ を特徴付けるのがすべて, 一回気付くとそれにしかもう見えなくなる
• 謎の中点があったときに対称点を取ってみるという発想は持っても良いかもしれない

$BC$ の中点を $O$ とする. 接弦定理などより$$\mathrm{\angle }AIQ=\mathrm{\angle }QCI=\mathrm{\angle }ICO$$に留意すると $$\mathrm{\angle }QIC={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }AIQ-\mathrm{\angle }CIO={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }ICO-\mathrm{\angle }CIO=\mathrm{\angle }IOC={90}^{\circ }$$ であるから $\omega$ の中心は $AC$ 上にある. すなわち $N$ は $\omega$ の中心である. さらに $$\mathrm{\angle }ADQ=\mathrm{\angle }ADC-{90}^{\circ }={90}^{\circ }-\mathrm{\angle }OBA=\mathrm{\angle }BAI$$ および $$\mathrm{\angle }QIB=\mathrm{\angle }QIA+\mathrm{\angle }AIB=\mathrm{\angle }ACI+\mathrm{\angle }AIB=\mathrm{\angle }IBA+\mathrm{\angle }AIB$$ より $\mathrm{\angle }ADQ+\mathrm{\angle }QIB={180}^{\circ }$ が分かるので, $AD,BI$ は $\omega$ 上で交わる. この点を $J$ とする.

次に $\mathrm{\angle }JIQ=\mathrm{\angle }ADQ=\mathrm{\angle }BAO$ より $$\mathrm{\angle }JNQ=2\mathrm{\angle }JIQ=2\mathrm{\angle }BAO=\mathrm{\angle }BAC$$ が従う. これより $AB//JN$ である. さらにこれと$$AB=AC,NQ=NJ$$により三角形 $ABC$ と $NQJ$ は相似である. よって $\mathrm{\angle }BCA=\mathrm{\angle }JQN$ より $QJ//BC$ である.

ここで $\omega$ と $BC$ の交点のうち $C$ でないものを $H$ とする. $QJ//HC$ および$$\mathrm{\angle }QJC=\mathrm{\angle }QHC={90}^{\circ }$$より, 四角形 $QJCH$ は長方形である. よって $N$ は $JH$ の中点である.

$AB//JH$ および $M,N$ がそれぞれ $AB,JH$ の中点であることより, $AJ,BH,MN$ は $AB$ を $JH$ に移す相似変換の中心で交わることがわかる. よって題意は示された.