問題113：Poland MO 2012 P5

#113

幾何

★★★☆☆

Poland MO 2012 P5

外心を $O$ を鋭角三角形 $A B C$ があり， $∠ B A C$ の二等分線と辺 $B C$ の交点を $D$ とする．点 $M$ は $M C ⊥ B C$ , $M A ⊥ A D$ をみたす．直線 $B M$ と直線 $O A$ が点 $P$ で交わるとき， $P$ を中心として $A$ を通る円は直線 $B C$ に接することを示せ．

解いてみた

平山：どう見ても $D$ で接するやんこれ
渡辺：定義自体では $D$ カスなのに
平山：Mixtilinear の弱い版みたいなのあった気がする
平山：というか接するとすれば $D$ なのはそれはそうか
渡辺：相似拡大か
渡辺： $A C D M$ 共円
平山：とりあえず $P A = P D$ とか示したいのかな
渡辺：もうちょっと $M$ の性質を探ってからで良さそう
平山：同一法の方が都合よくないかこれ
渡辺： $P$ から決める方がよくわかると
平山： $D$ を通り $B C$ に垂直な直線と $A O$ の交点を $P^{'}$ として
平山：円の条件はクリアするから、 $B M$ 上にあることを言う
渡辺：ああね
平山： $B D : D C = A B : A C$ だから、 $P^{'} D : M C$ とか調べればいいかな
渡辺：どうとでもなりそう
平山： $∠ D M C = ∠ A / 2$ で $M C$ は計算出来て
平山： $∠ O A D$ わかるから $P^{'} D$ も頑張れば行けるか
渡辺： $N$ を弧 $B C$ の中点として $R \cdot (A D / A N)$ と考えた
渡辺：あとは正弦定理ゴリ押し使えば…
平山： $A B \cdot A = A N \cdot A D$ 使えば早いかな
平山： $A D$ 使いたくないから、まああとはなんとでも

解説・感想

工事中

解答

工事中