平石：分子両方とも $p$ かい
平山：とりあえず偶数とか分離した方がいいんかな
馬杉：とりあえず大小評価とかしよう
渡辺：$p=2$ では解ないのでは
平石：ないですね
兒玉：$a^p+b^p$ の素因数の形が限られるみたいな話があった気が
渡辺：位数取ると指数の $p$ が効くやつかな
馬杉：素因数 $r$ について、$(a/b{)}^{2p}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}r)$
平山：ってことは位数が $2p$ で…いや $2$ かもしれないな
渡辺：$r=2,7$ だと例外的になる
兒玉：これ $(3,3)$ が解なんですね
兒玉：でも分母の形的にそれだけで言えるわけでもなさそう
馬杉：大体 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2p$ で $1$ っぽい話は持ってても良いのでは
渡辺：LTEから $7$ のオーダーは基本 $1$ だし、$2$ のオーダーも基本 $2$
渡辺：例外部分の性質はかなりよくわかっている
平山：$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2p$ におけるズレみたいなのを見ていけば
馬杉：$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2p$ で $p+1$
渡辺：同時に $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2p$ で $28$ の約数
平山：じゃああとは $p=3,7,13$ とかだけ試せば良いのか？
馬杉：まあもう有限個だし…
平山：… $q$ が素数であること使ってなくね？？

• $a^p+b^p$ の素因数が限られる話は難しめのNの最重要レベルの定石感
• $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$ で議論を推し進めたほうが再現性は高い気がした

求める組は $(p,q)=(3,3)$ のみであることを示す．$M=3p^{q-1}+1,N={11}^p+{17}^p$ とおく．

$p=2$ のとき $N=310$ より $q\leqq 7$ が必要だが，これはすべて不適である．以下 $p$ は奇素数であるとする．

（※編注：ここから「解いてみた」では $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2p$ を観察しているが，感想欄でも言及のある通り実際には $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$ を見れば十分であったので，簡単のため以下ではそのような方針で進める．）

さて $s=v_2(M)$，$t=v_7(M)$ とすると，補題より以下が従う. $$2^s{7}^t\equiv M\equiv 1(\mathrm{mod}p)$$ $p$ が奇数であることから$${11}^p+{17}^p\equiv 3^p+1\equiv 4(\mathrm{mod}8)$$加えて $M$ は偶数であるから $s=1,2$ が必要である．

ここで $p=7$ とすると $t=0$ だが，これは $s=1,2$ に反する．したがって，LTEの補題より $$v_7(N)=v_7({11}^p-(-17{)}^p)=v_7(11-(-17))+v_7(p)=1$$ すなわち $t=1$ を得る．ゆえに $p$ は $2^s{7}^t-1$ の約数であることから，$p=3,13$ が必要である．

$p=13$ のとき $M\equiv 3(-1{)}^{q-1}+1\not\equiv 0(\mathrm{mod}7)$ より不適である．

$p=3$ のとき $N=6244$ より $q\leqq 7$ が必要で，このとき $q=3$，すなわち $M=28$ のときのみ適する．