兒玉：$x_2(x_3-x_1)+x_4(x_5-x_3)+\cdots$
平山：偶奇分離されてるのか…
兒玉：カッコの中の総和は0
馬杉：数字は0と1しかなく、局所的に見ていけます
馬杉：一つ以外を固定したときにどっちかが極大点だからです
平山：ほぼ終わりでは？
兒玉：カッコの中を $\pm 1$ で偏らせて、1のところを1に
宿田：$n/2$ とかか
平山：$n$ の偶奇がうっとうしくて
平山：$n$が偶数なら厳密に実現できる
宿田：$[n/2]$ かな
宿田：隣り合う奇数項で値が一致するものが一つはあって、そこを一個にくっつけると偶数の時に帰着できるか
兒玉：流石にカッコの中で1は $[n/2]$ 個しか作れない気が
平山：カッコの中 $1,0,-1$ で総和0なんだからそれはそう
馬杉：ぴよ

工事中

問題の値を$S$ とし, $i=1,2,\dots ,n$ に対して, $y_i=x_{2i+1}-x_{2i-1}$ ( $x_{2i+1}=x_1$ とする)とおく. このとき, $S=x_2{y}_1+x_4{y}_2+\cdots +x_{2n}{y}_n$ となる. また, $-1\leqq y_i\leqq 1$ であり, さらに, $y_1+y_2+y_3+\cdots +y_n=0$ が成り立つ. $y_1,y_2,\dots ,y_n$ のうち, $0$ 以上のものを順に $p_1,p_2,\dots ,p_s$, 負のものを順に $m_1,m_2,\dots ,m_t$ とおく. ただし$s+t=n$ である. このとき, $0\leqq x\leqq 1$ より, $S\leqq p_1+p_2+\cdots +p_s\leqq s$ が成り立つ. また, $p_1+p_2+\cdots +p_s=-(m_1+m_2+\cdots +m_t)$ より, $S\leqq -(m_1+m_2+\cdots +m_t)\leqq t$ である. $s+t=n$ より $s\leqq n/2$ または, $t\leqq n/2$ であるから, $S\leqq [n/2]$ が示された.

$n=2k$ ( $k$ は正整数)のとき, $x_{4i-3}=0,x_{4i-2}=1,x_{4i-1}=1,x_{4i}=0$ ($i=1,2,\dots ,k$) とすれば, $y_{2i-1}=1,y_{2i}=-1$ ($i=1,2,\dots ,k$) であり, $S=k$ となる.

$n=2k-1$ ( $k$ は正整数) のとき, $x_{4i-3}=0,x_{4i-2}=1,x_{4i-1}=1,x_{4i}=0,x_{4k-3}=0,x_{4k-2}=0$ ($i=1,2,\dots ,k-1$) とすれば, $y_{2i-1}=1,y_{2i}=-1,y_{2k-1}=0$ ($i=1,2,\dots ,k-1$) より $S=k-1$ となる.

以上より求める最大値は $[n/2]$ である.