問題104：APMO 2020 P2

#104

代数

★★☆☆☆

APMO 2020 P2

　 $r$ を実数とする. 正整数からなる数列 $a_{1}, a_{2}, \dots$ が, 任意の正整数 $n$ に対し以下の不等式をみたすとき, ある正整数 $M$ が存在し, 任意の正整数 $n \geq M$ に対し $a_{n + 2} = a_{n}$ であるという. $a_{n} \leq a_{n + 2} \leq \sqrt{a_{n}^{2} + r a_{n + 1}}$ このような $r$ としてあり得る最大値は $r = 2$ であることを示せ.

解いてみた

平山：なんと最大値を宣言してしまう優しさ
平山：まず $r = 2$ で収束することを示す
渡辺： $r > 2$ だったら大きい $k$ で $k, k, k + 1, k + 1, k + 2, \dots$ で良さげ
宿田：「まず」が「最後に」になったな
平山： $r = 2$ だと $k, k$ なら絶対 $k$ になるのがミソか
平石：隣り合うとこで小さくなれば次は同じのが来る
平山：一旦下がればもうokそうだけど、微妙かな
渡辺：2連続で増加は矛盾でしたね
平山：ほんとだ余裕で矛盾じゃん
渡辺：増加と減少が交互に来るしかないね
平山：交互なら狭まっていくから終わり

解説・感想

$r > 2$ における構成がいきなり出てきているが, $a_{n}^{2} + r a_{n + 1} ≧ (a_{n} + 1)^{2}$ となる状況を作りたいというのがモチベーション

解答

$r > 2$ のとき, 正整数 $k \geq 1 / (r - 2)$ に対し数列を $a_{n} = k + [n / 2]$ によって定める. このとき与不等式の左側は明らか, 右側は以下より成立する. $(a_{n}^{2} + r a_{n + 1}) - a_{n + 2}^{2} = (k + [n / 2])^{2} + r (k + [(n + 1) / 2]) - (k + 1 + [n / 2])^{2} \geq ((r - 2) k - 1) + (r - 2) [n / 2] \geq 0$ しかしこの $a_{n}$ において任意の正整数 $n$ について $a_{n} \neq a_{n + 2}$ となり条件をみたさない. したがって以下 $r = 2$ とし, これが適することを示せばよい. 　 $a_{n} < a_{n + 1}$ なる $n$ が存在したとすると, $a_{n}^{2} + 2 a_{n + 1} < (a_{n + 1} + 1)^{2}$ より $a_{n + 2} \leq a_{n + 1}$ が必要である. すなわち $a_{n}$ は2回続けて増加しない. また $a_{n} \geq a_{n + 1}$ のとき, $a_{n}^{2} + 2 a_{n + 1} < (a_{n} + 1)^{2}$ より $a_{n + 2} = a_{n}$ が必要である. 特に $a_{n} = a_{n + 1}$ のとき, $a_{n}$ はそれ以降一定になるから, 以下そのような $n$ が存在しないとする. 　 $a_{N} > a_{N + 1}$ なる $N$ を一つ固定する(上の議論よりこのような $N$ は必ず存在する). このとき $a_{n}$ は $n \geq N$ で増加と減少を繰り返すから, $a_{N} = a_{N + 2} = \dots$ である. また部分列 $a_{N + 1}, a_{N + 3}, \dots$ は単調に増加するが, これらは常に $a_{N}$ 以下であるため, 十分先で一定になる. よって示された.