問題102：Netherlands TST 2018

#102

代数

★★★☆☆

Netherlands TST 2018 Test1 P4

実数に対して定義され, 実数値をとる関数からなる集合 $A$ がある. 任意の $A$ の（相異なるとは限らない）元 $f_{1}$ , $f_{2}$ に対して, ある $A$ の元 $f_{3}$ が存在し, 任意の実数 $x$ , $y$ に対し $f_{1} (f_{2} (y) - x) + 2 x = f_{3} (x + y)$ が成立するとき, 任意の $A$ の元 $f$ および任意の実数 $x$ について, $f (x - f (x)) = 0$ が成り立つことを示せ.

解いてみた

平山：…？？
兒玉：おん？
平山：手が動かねえ
兒玉：右辺が対称式なのやばい
平山：とりあえず $x = 0$ で縛ると合成が必ずあるのか
宿田：それ右辺代入したら $f_{3}$ 消えるな
平石： $f (x) = x + c$ の集合とかやな
渡辺：構成のプロ
平石：逆に考えたらまあ自然な構成だけど、
平石：示すべきことがこれだからとんでもない関数含んでるってことも考えられる
平山：両辺に $f_{1}$ かかってるのか
宿田： $(- x, x)$ で $f_{1} (f_{2} (x) + x) - 2 x = f_{1} (f_{2} (0))$
兒玉： $f_{1} = f_{2}$ としてみる？
平山： $f (f (y) - x) + 2 x = f (f (x + y)) = f (f (x) - y) + 2 y$
宿田：全射なので零点 $a$ が取れます。
宿田： $f (f (x) + x) - 2 x = f (f (0))$ に代入して零点は一意です。
兒玉：は？
平山：いや結局 $x + c$ 型しか入ってないんかいww
平石：零点が唯一なのは何で言えてるの？
平山：めっちゃ甲斐輝也内科医()
平山：いや甲斐輝也内科医、マジで誰やねん
平石：書いてるやないかい、草
渡辺：与式で $f_{1}$ を $f f$ 、 $f_{2}$ を $f$ として
渡辺： $f (f (f (y) - x)) + 2 x = f (f (f (x + y))) = f (f (f (y) - x) + 2 x)$
渡辺： $x$ 固定で $f (f (y) - x)$ 全射だから終わりでは
平山：えっ？
兒玉： $f (r) + 2 x = f (r + 2 x)$
兒玉：解き味が微妙すぎる
平石：結構な謎

解説・感想

工事中

解答

与式に $y = 0$ を代入すれば $f_{1} (f_{2} (x)) = f_{3} (x)$ であることから, 条件は任意の $A$ の元 $f_{1}$ , $f_{2}$ に対し以下の二つが成り立つこと同値である.

$f_{1} \circ f_{2}$ は $A$ に含まれる.
任意の実数 $x$ , $y$ に対し $f_{1} (f_{2} (y) - x) + 2 x = f_{1} (f_{2} (x + y))$ が成立する.

任意に $A$ の元 $f$ をとる. 二つ目の条件において $f_{1} = f_{2} = f$ とすれば, $f (f (y) - x) + 2 x = f (f (x + y))$ 特に $y = - x$ とすることで $f$ は全射である. ここで, 一つ目の条件より $f \circ f$ は $A$ の元であるから, $f_{1} = f \circ f$ , $f_{2} = f$ の場合を考えれば, $f (f (f (y) - x)) + 2 x = f (f (f (x + y))) = f (f (f (y) - x) + 2 x)$ いま $f$ の全射性より, 任意の実数 $x$ に対し $f (f (f (y) - x)) = 0$ をみたす実数 $y$ が存在するから, これを代入すれば $f$ はすべてある実数 $c$ によって $f (x) = x + c$ の形式に表せ, 特に題意は示された.