平山：これで $f(x)\equiv x$ 以外にある方がすごい
平石：$2$ と奇素数を代入
渡辺：まずは偶奇を見るのも手では
平山：$f(2)$ と $f(\text{奇素数})$ の偶奇が違うから、$f(2)=2$
馬杉：単射とか言えないの
平山：$q=2$ で $f(p{)}^2+2^p=2^{f(p)}+p^2$
渡辺：$g(x)=2^x-x^2$ の単調性で勝ちでは
平石：はい。

• 渡辺が即で $2^x-x^2$ の単調性を言っているが、普通に思考ステップ的には飛躍があると思う、これを読んで「ああ自然だね」と思うくらいの人間はこれを解ける
• 例えば、実際にこの式から小さな $f(p)$ を求めようとしているうちに $2^x-x^2$ の単調性に気付く、というシナリオならある程度再現性が上がる気がする

求める関数 $f$ は $f(p)\equiv p$ であることを示す. これが条件をみたすことは明らかである.

いま $f(2)$ が奇数であると仮定すると, 奇素数 $p$ について $P(p,2)$ より $f(p)$ は偶数, すなわち $f(p)=2$ が必要である. しかしこのとき $(p,q)=(3,5)$ より矛盾を得る. したがって $f(2)=2$ である. また同様にして奇素数 $p$ について $f(p)$ も奇素数である.

いま $g(p)=2^p-p^2$ とおくと, $P(p,2)$ より $g(f(p))=g(p)$ が必要である. ここで以下の補題を示す.

補題より整数 $n\geqq 3$ に対し$$2^{n+1}-2^n=2^n>2n+1=(n+1{)}^2-n^2$$ すなわち $g(n+1)>g(n)$ である. 以上より任意の $p$ に対し $f(p)=p$ であることが示された.