問題1：IGO 2019

幾何

★★★★☆

IGO 2019 Advanced 問3

それぞれ点 $O_{1}, O_{2}$ を中心とする円 $ω_{1}$ ， $ω_{2}$ があり，これらは相異なる点 $X$ ， $Y$ で交わっている． $A, B$ はそれぞれ $ω_{1}$ ， $ω_{2}$ 上の点であり，直線 $A B$ は $ω_{1}$ ， $ω_{2}$ とともに接する． $X$ における $ω_{1}$ ， $ω_{2}$ の接線と直線 $O_{1} O_{2}$ との交点をそれぞれ $K$ ， $L$ とし， $B L$ と $ω_{2}$ の交点のうち $B$ でない方を $M$ ， $A K$ と $ω_{1}$ の交点のうち $A$ でない方を $N$ とする．

このとき，直線 $A M$ ， $B N$ ， $O_{1} O_{2}$ は $1$ 点で交わることを示せ．

解いてみた

兒玉：とりあえずフリーハンドで図を描いた
平石： $Y$ 要らなくね()
平山：良くあること
宿田： $A B, K L, M N$ 共点では？こっちの方が示しやすそう
宿田： $A K, B L, X Y$ も共点になりそう
平山：めっちゃ共点あるじゃん、どれが一番楽？
平山： $A K, B L, X Y$ か流石に、 $M, N$ がウザいもんな
平石：でもそれを示すなら $A B M N$ 共円を示したい気分になるんですが
平山：その共円を示すモチベは根心であっているよね？
平山：えー、でも $M, N$ を利用しない $A K, B L, X Y$ の方が都合が良さそう
平石：確かに $M, N$ はウザい
平山：むしろその共点を用いて $M, N$ の特徴付けをすべきに見える
宿田：じゃあとりあえず今のモチベはその共点で良いのかな
平山：でもそもそも $K, L$ 自体もそこまで扱いが良いわけじゃないな
宿田：話ズレるけど $O_{1} X$ と $A L$ って $ω_{2}$ 上で交わってる…？
平山：かなり気のせいっぽい
平石：たぶん $X, Y$ をどっちに取ったかで図の見た目が違いそう
宿田：確かに
平山： $K, L$ の情報が足りない
宿田： $A B M N$ の外心ってめちゃめちゃ $A B$ に載ってそうじゃないですか
平山：あ、正しそう
宿田：というか $∠ A M B = 90^{\circ}$ ってことか
平山：直角の方が強そうだからそっち目標の方が良いのかな…
兒玉：直角だったら元の問題にも結構良い影響ある気がする
平石：垂心的な？
平山： $M, N$ が $K, L$ を経由せずに定義できるようになる
平山：そうすれば $K, L$ はもう用無しか
宿田：垂直がたくさんあるしBrokardを思い出す
平山：強めの予想が立って、 $X Y$ の中点って $A B$ と $M N$ についてのMiquel点
平山：この辺り完全にまんま構図になってる
平山：というか共円を仮定すると、その中心って $A B$ の中点なので $X Y$ 上にある
兒玉： $X Y$ の中点を $H$ とすると $A O_{1} H N$ は共円
平山：それ示せてますか？
兒玉： $K$ から方べきで言えます
平石：あー、ほんとだ
平山：この時点でもう $K, L$ 要らないですね
平山：その共円から共点って従いますか？
平石： $A B$ の中点を $P$ としたら、方べきで $P X Y$ が共線
平石：これって $∠ P N O_{1} = 90^{\circ}$ だから、 $P N$ って $ω_{1}$ に接しませんか
兒玉：あ、ちょうど同じことを思った
平石：そうすると $P$ からの距離が等しいので共円が言えてる
兒玉：ほんまや、直角も言えてる
平山：こんだけ共円言えてたら、方べきかなんかで $A B, M N, O_{1} O_{2}$ の共点言えそうじゃないですか
宿田：Brokardも若干頭をよぎる
平山：あー、 $A B, M N, O_{1} O_{2}$ の共点が言えれば使えるわ
平山：それと $A M$ と $B N$ の交点と $P$ のなす三角形の垂心が、 $A N, B M, X Y$ の交点 $Q$ になって終わり
宿田：題意の点の特徴付けが、Miquel側のものと、Brokard側のものと
平山：とにかくその共点で終わることが分かった
平石：円周角から $∠ Q N M = ∠ A B M = ∠ P H M$ で、 $Q M N H$ が共円
兒玉：あー、終わった
平石：その円と $O_{1} O_{2}$ の交点を $C$ とすると、 $∠ Q H C = 90^{\circ}$ より $Q C$ は直径
平山：理解した
平石：よって $A M$ と $B N$ は $C$ で交わる
平山：Miquel寄りの解釈で良かったな
平石：っぽいね
平山：というかMiquelって散々言っといて、直角使うのに気付かないのダメすぎたな
宿田：結局 $A B, M N, O_{1} O_{2}$ の共点は必要無かったんやな

解説・感想

序盤の共点エスパーは長年の経験（4,5行目）
$∠ A M B$ 直角は良い進捗, $K L$ ありきの $M N$ だったのが別々に扱いやすくなる
「 $K, L$ から円にたくさん直線が引かれている」 $\to$ 「方べき値をとりあえず見る」 $\to$ 「共円！」
「 $P X Y$ 共線の構図」「接線・接点が多い」 $\to$ 「とりあえず直角な場所を見ていく」 $\to$ 「共円！」
終盤はMiquelとか言っているから、流石に円を描いているはず
1問目にふさわしい超教育的枠, 終わって見ればどこかで見そうな構図がてんこもり

解答

$A B$ と $X Y$ の交点を $P$ , $O_{1} O_{2}$ と $X Y$ の交点を $H$ とする. まず $O_{1} A P N H$ の共円を示そう. 方べきの定理より $P A^{2} = P X \times P Y = P B^{2}$ であるから, $P$ は $A B$ の中点である. また, $∠ O_{1} A P = ∠ O_{1} H P = 90^{\circ}$ より $O_{1} A P H$ の共円が従う.

$∠ X H K = ∠ O_{1} X K = 90^{\circ}$ より三角形 $K X H$ , $K O_{1} X$ は相似であるから, $K X^{2} = K H \times K O_{1}$ また方べきの定理より $K X^{2} = K N \times K A$ であるから, これらを合わせて $A N H O_{1}$ の共円が従う.

以上より $O_{1} A P N H$ は共円であり, $∠ O_{1} A P = 90^{\circ}$ より $∠ O_{1} N P = 90^{\circ}$ である. したがって $P N$ は $ω_{1}$ に接するので, $P A = P N = P B$ から $∠ A N B = 90^{\circ}$ がわかる. 同様に $O_{2} B P M H$ の共円と $∠ A M B = 90^{\circ}$ がわかる. よって $A M N B$ は共円であり, $A B$ はその直径, $P$ はその中心である.

$A P N H, B P M H, A M B N$ の共円より, $H P, A N, B M$ は $1$ 点 $Q$ （根心）で交わる. ここで円周角の定理より $∡ Q N M = ∡ A B M = ∡ P H M$ であるから, $H M Q N$ の共円がわかる. この円と $O_{1} O_{2}$ の交点のうち, $H$ でないものが存在すればそれを, しないときは $H$ を $C$ とすると, $Q H ⊥ O_{1} O_{2}$ より $Q C$ が直径であることが従う. よって $∡ A M C = ∡ A M B + ∡ C M Q = 0^{\circ}$ であるから, $A M C$ は共線である. 同様に $B N C$ も共線であるので, $A M, B N, O_{1} O_{2}$ は $1$ 点 $C$ で交わる.