$m$ を $A$ の最小値と仮定する. $m^{\prime }=\frac{1+m}{2}$ とすると, $m\in A$ より $m>1$ だから $1<m^{\prime }<m$ である. よって $m^{\prime }\in A$ かつ $m^{\prime }<m$ が成り立つが, $m$ が $A$ の最小値であることに矛盾する.

$x=1$ のとき $x^2-2x=-1$ である. $x$ が実数ならば $x^2-2x=(x-1{)}^2-1\ge 0-1=-1$ である. 以上より求める最小値は $-1$ である.

ビンゴが存在しないとき, どのタテの列においても穴は $4$ 個以下存在するので, マス目全体の穴の数は $4\times 5=20$ 個以下である. また, $(1,1),(2,2)\cdots ,(5,5)$ のマス目以外に穴が開いている場合では, 穴は $20$ 個あり, なおかつビンゴが存在しない. 以上より求める最大値は $20$ 個である.

コメント. $5$ を正の整数 $n$ に置き換えた問題も解いてみよう.

$A=\{m\in \mathbb{Z}\mid mn\le a\}$ とおく. $A$ は空でない. (例えば, $m=-|a|$ のとき, $mn=-|a|n\le -|a|\le a$ である. ) また, $mn\le a$ ならば $m\le a/n$ が成り立つから, $A$ は上に有界である. よって $A$ には最大値が存在するので, それを $q^{\prime }$ とする. $r^{\prime }=a-q^{\prime }n$ とすると, $q^{\prime }\in A$ より $qn\le a$ だから $r\ge 0$ . また, $q^{\prime }$ の最大性より $q^{\prime }+1\notin A$ だから $(q^{\prime }+1)n>a$ であり, $r^{\prime }<n$. よって $(q,r)=(q^{\prime },r^{\prime })$ で条件がみたされる.

$A$ は正の整数を含むから, $A$ の元であるような正の整数で最小のものが存在するのでそれを $c^{\prime }=a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }$ とする. $m$ を任意の整数として, $c^{\prime }m=a(m{x}^{\prime })+b(m{y}^{\prime })$ より $c^{\prime }m\in A$ である.

また, 任意の $A$ の元 $ax+by$ について, これを $c^{\prime }$ で割った商を $q$ , 余りを $r$ とすると, $0\le r<c^{\prime }$ が成り立ち, かつ, $r=(ax+by)-q(a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime })=a(x-q{x}^{\prime })+b(y-q{y}^{\prime })$ より $r\in A$ である. $r>0$ を仮定すると, $r$ は $A$ の元である正の整数であり, $r<c^{\prime }$ が $c^{\prime }$ の最小性に矛盾する. よって, $r=0$が成り立ち, 任意の $A$ の元は $c^{\prime }$ の倍数である.

以上より $A$ は $c^{\prime }$ の倍数全体の集合である.

コメント $c^{\prime }$ は $a,b$ の最大公約数です.