$n$ を正整数とする. $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2n}$ を $0$ 以上 $1$ 以下の実数とするとき, $$(x_{2}x_{3}+x_{4}x_{5}+\cdots+x_{2n-2}x_{2n-1}+x_{2n}x_{1})-(x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots+x_{2n-1}x_{2n})$$ の最大値を求めよ.

　$r$ を実数とする. 正整数からなる数列 $a_{1},a_{2},\cdots$ が, 任意の正整数 $n$ に対し以下の不等式をみたすとき, ある正整数 $M$ が存在し, 任意の正整数 $n\geq M$ に対し $a_{n+2}=a_{n}$ であるという. $$a_{n}\leq a_{n+2}\leq \sqrt{a_{n}^{2}+ra_{n+1}}$$ このような $r$ としてあり得る最大値は $r=2$ であることを示せ.

実数に対して定義され実数値をとる関数 $f$ であって, 任意の実数 $x,y$ に対し \[ xf(y)+yf(x)\leqq xy\] をみたすようなものをすべて求めよ.

$q$ を正の有理数とする. $2$ 匹のアリが初め平面上の同じ点 $X$ にいる. $n-1$ 分後 ($n=1,2,\cdots$) に各アリは東西南北いずれかの方向を選び, その方向へ $1$ 分間かけて $q^n$ 移動する. ある正整数 $k$ が存在し, $k$ 分後の $2$ 匹のアリの位置が一致し, かつそれまでの $2$ 匹の道筋が完全には一致していないとき, $q$ としてありうる値を全て求めよ.

$m\geqq n$ を正の整数とする. サンタクロースは $m$ 個のプレゼントを持っており, $n$ 人の子どもたちにそのうち $1$ つずつを配りたい. $i$ 人目の子どもは, $m$ 個のプレゼントのうち, ある $x_i (\gt 0)$ 個から $1$ つが欲しいと思っている. $x_1,\ldots,x_n$ の逆数和が $1$ 以下であるとき, サンタクロースはすべての子どもたちの望み通りにプレゼントを配れることを示せ.

ある国は $n\geqq 2$ 個の都市からなり, どの $2$ 都市についてもそれらを双方向に結ぶ航空路線が開設されている. 政府はいくつかの航空会社に以下の条件をみたすようにこれらの航空路線を割り当てることにした：

• それぞれの航空路線は, ちょうど一つの航空会社に割り当てられる.
• どの $2$ 都市の組についても, 各航空会社に割り当てられた路線のみを用いて行き来できる.

このとき, 割り当てに関与できる航空会社の数としてありえる最大値を求めよ.

$n\geqq 4$ を整数とする. 平面上に相異なる $n$ 個の点があり, どの $3$ 点も同一直線上にない. これらの点を頂点とし, 面積が $1$ であるような相異なる平行四辺形の数を $A(n)$ とするとき, 以下の不等式を示せ. \[A(n)\leqq \frac{n^2-3n}{4}\]

$AB\lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において, $A$ から対辺におろした垂線の足を $D$ とする. 点 $B’$ と $C’$ がそれぞれ半直線 $AB,AC$ 上にあって, $B’,C’,D$ が同一直線上にあり, $4$ 点 $B,C,B’,C’$ が点 $O$ を中心とする同一円周上にあるとする. 線分 $BC$ の中点を $M$, 三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とするとき, 四角形 $DHMO$ は平行四辺形であることを示せ.

以下をみたす正の整数の組 $(x,y)$ をすべて求めよ.\[3^{x}+x^{4}=y!+2019\]

素数に対して定義され素数値をとる関数 $f$ であって, 任意の素数 $p,q$ に対し \[f(p)^{f(q)}+q^{p}=f(q)^{f(p)}+p^{q}\] をみたすようなものをすべて求めよ.

$p$ を奇素数とする. AnaとBenが以下のようなルールによってゲームを行う.

• $1$ 以上 $2p-2$ 以下の整数を交互に一つずつ選ぶ. ただし過去に二人のいずれかによって選ばれた数は選ぶことができない.
• すべての数が選ばれたら, 二人はそれぞれ選んだ $p-1$ 個の数の総積に $1$ を足すことで, 自らのスコアを計算する.
• 一方のスコアのみが $p$ で割り切れるときその人の勝利となり, それ以外の場合は引き分けとなる.

Anaが先に整数を選ぶ. 互いが常に最適に行動し続けるとき, ゲームの結果はどうなるか？